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Analysis » Funktionentheorie » Riemannsche Fläche w=z^2
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Universität/Hochschule J Riemannsche Fläche w=z^2
siegfrid87
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Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2021-08-22

Hallo, lese gerade den Grundkurs "Funktionentheorie" vom Klaus Fritzsche und verstehe folgende Aussage nicht: Offenbar ist \[f(z)=z^2\] nicht injektiv. Das ist klar, denn im Buch(p.19, 2.Aufl) wird angegeben, dass \[f(i\cdot t)=f(-i\cdot t)=-t^2.\] Also ist f nicht injektiv. Jetzt schreibt der Autor: "Damit \(f\) injektiv bleibt, dürfen wir in der \(z\)-Ebene nur die Menge aller \(z\) mit \(Im(z)>0\) betrachten. Als Bildmenge erhalten wir dann die längs der reellen Achse (incl. Nullpunkt) aufgeschlitzte w-Ebene." Ich verstehe das so, dass zB. (-1,0) nicht im Bildbereich vorkommt. Das ist aber doch falsch, denn für \(z=i\) gilt \(Im(z)=1>0\) und \(z^2=-1\). Vielen Dank!


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du hast das völlig richtig verstanden. Die "positive" imaginäre Achse wird unter $f$ auf die negative reelle Achse abgebildet, was du durch $f(\i t)=-t^2$ bereits richtig angegeben hast. Edit: Oder eben wie Diophant sagt, dass die nichtnegative reelle Achse gemeint ist. Hier habe ich eine Animation dieser Abbildung programmiert, falls dir das weiterhilft. LG Nico\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-22

Hallo, ich denke, das wird so gemeint sein, dass die komplexe Ebene entlang der positiven reellen Achse inkl. der Null geschlitzt ist. Denn mit deiner Argumentation hast du natürlich vollkommen recht. Und das wird ja so mit jeder rein imaginären Zahl passieren (bedenke, dass sich beim Quadrieren das Argument einer komplexen Zahl verdoppelt.) Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von Diophant]


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siegfrid87
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Mitteilungen: 8
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Lieber Diophant, lieber nzimme10, vielen Dank! Jetzt ist die Sache für mich klar. LG PS. Das ging ja unerwartet schnell. 😃😃 Super!


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