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 Stammfunktionen im Komplexen |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1909
 |  Themenstart: 2021-08-23
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Hallo Zusammen,
Wegen eines Abgabeformfehlers der Corona-Sonderprüfung wurde ich
in der komplexen Analysis disqualifiziert und muss die Prüfung wiederholen.
Dies ist umso ärgerlicher, weil meine eigene Prüfung, wie auch die Musterlösung vor mir liegt und ich merke, dass ich gut gewesen wäre.
Um aber bei der Repetition noch besser zu sein brauche ich Hilfe von MP.
Aus Analysis I oder sogar noch aus der Schulmathematik kennen wir:
$\int_a^b f(t) dt=F(a)-F(b)$. Manche Lehrer schreiben als Aufgabe auch einfach: $\int f(t) dt$ womit gemeint ist, dass der Schüler eine Funktion $F(t)$ finden soll, sodass $F'(t)=f(t)$
Nun bin ich mir unsicher, wie man solche überlegungen aus der Analysis I
auf die komplexe Analysis übertragen kann.
Auf französisch nennt man $F$ ein "primitive" von $f$. Ich frage mich, ob man das direkt als "Stammfunktion" übersetzen kann.
Aber ich habe auf Wikipedia gesehen, dass auch in Englisch der Begriff "primitive fonction" verwendet wird.
Sei $\Omega \subset \mathbb{C}$ offen und zusammenhängend
Beweise dass wenn $f \in H(\Omega)$ ein primitiv hat, dann gilt für jeden geschlossenen weg $\gamma$ in $\Omega$:
$\int_\gamma f(\lambda) d\lambda=0$
Was muss man da zeigen?
Was bedeutet "$f$" hat ein primitiv auf $\Omega$?
bedeutet dies, dass eine funktion $F$ existiert, welche nach den bekannten Ableitungsregeln $F'=f$ erfüllt und dann muss man noch zeigen, dass $F$ auf ganz $\Omega$ definiert ist und Werte in $\mathbb{C}$ annimmt?
Ich weis nicht, was hier verlangt ist.
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LetsLearnTogether
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-23
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Hallo,
\quoteon
Was bedeutet "$f$" hat ein primitiv auf $\Omega$?
\quoteoff
Eigentlich das was du schreibst.
Auf $\Omega$ existiert eine Funktion $F$ mit $F'=f$.
\quoteon
und dann muss man noch zeigen, dass $F$ auf ganz $\Omega$ definiert ist und Werte in $\mathbb{C}$ annimmt?
\quoteoff
Nein, dass $f$ eine "primitive" hat, ist ja eine Voraussetzung. Du kannst also die Existenz einer solchen Funktion $F$ mit den gewünschten Eigenschaften annehmen. Im deutschen sagt man wohl auch ganz gewöhnlich "Stammfunktion" anstelle von "primitive".
\quoteon
Sei $\Omega \subset \mathbb{C}$ offen und zusammenhängend
Beweise dass wenn $f \in H(\Omega)$ ein primitiv hat, dann gilt für jeden geschlossenen weg $\gamma$ in $\Omega$:
$\int_\gamma f(\lambda) d\lambda=0$
Was muss man da zeigen?
\quoteoff
Das ist ein Paradebeispiel für einen "erzwungenen Beweis", wie sie im Artikel von Triceratops beschrieben wird.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Du schreibst also einmal die Definition von dem Integral hin, und nutzt dann aus, dass $\gamma$ ein geschlossener Weg ist.
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1909
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-23
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Hallo LLT,
Vielen Dank für deine schnellen Antworten.
Ich kann es leider nicht ganz in Einklang bringen mit dem erzwungenen Beweis. Dies darum, weil ich hier nicht weis, was genau definition ist und was Satz ist.
In der zweiten Aufgabe ist ein Beispiel gesucht einer Funktion $f\in H(\Omega)$ und des $\Omega$ offen, sodass kein primitiv existiert.
Ich habe intuitiv korrekt geschrieben $f(x)=(\frac{1}{x})$ und $\Omega=\mathbb{C}\backslash \{0\}$
Jetzt sehe ich gerade, dass (habe ich in der Eile der Prüfung nicht gesehen), dass das Primitiv von $\frac{1}{x}$ tatsächlich nicht auf ganz
$\mathbb{C}\backslash \{0\}$ Werte annimt.
Somit wäre $\frac{1}{x^2}$ auf $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein falschen Beispiel weil $-\frac{1}{x}$ ein primitiv wäre, welches auf $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ werte annimmt und folglich
$\int_\gamma \frac{1}{z^2} dz=0$
Stimmt das so?
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2238
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo sulky,
Damit wir beide auf dem selben Stand sind:
Definition Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet (:= offen und zusammenhängend) sowie $f\colon G\to \mathbb C$ eine stetige Funktion. Eine holomorphe Funktion $F\colon G\to \mathbb C$ mit $F'=f$ nennt man eine Stammfunktion von $f$.
Bei den geschlossenen Wegen $\gamma$ werden sicherlich stückweise stetig differenzierbare geschlossene Wege gemeint sein.
Nun gilt es zu zeigen, dass $\int_\gamma f(z) \d z=0$ für jeden solchen geschlossenen Weg $\gamma$ gilt, wenn $f$ eine Stammfunktion hat. Dann fangen wir eben mal an:
Sei $f\colon G\to \mathbb C$ stetig und es gebe ein holomorphes $F\colon G\to \mathbb C$ mit $F'=f$. Sei weiter $\gamma\colon [0,1]\to G$ ein (stückweise stetig differenzierbarer) geschlossener Weg. Soweit waren die Voraussetzungen. Damit müssen wir nun arbeiten. Es gilt nun per definitionem
$$
\int_\gamma f(z) \d z=\int_{0}^1 f(\gamma(t))\gamma'(t) \d t=\int_0^1 F'(\gamma(t))\gamma'(t) \d t=\dots
$$
Ab hier verläuft die weitere Rechnung exakt so wie im Reellen auch. Wenn man hier also "stur und brav" nacheinander die entsprechenden Definitionen anwendet und die Voraussetzungen im Auge behält, dann schreibt sich das wie in Beitrag #1 beschrieben eigentlich von selbst hin. Wenn man natürlich die Definitionen nicht kennt, dann muss man das zunächst nachholen (Was ist ein Weg? Was ist ein geschlossener Weg? Wie sind Wegintegrale definiert?...)
Das gehört nicht mehr direkt zu deiner Aufgabe: Umgekehrt (und vielleicht sogar interessanter) gilt, dass auch die umgekehrte Richtung stimmt! Wenn also $\int_\gamma f(z) \d z=0$ für jeden (stückweise stetig differenzierbaren) geschlossenen Weg $\gamma$ gilt, dann besitzt $f$ auch eine Stammfunktion. Ein natürlicher Kandidat für eine Stammfunktion wäre (analog zum reellen Fall) die Abbildung
$$
F\colon G\to \mathbb C, \ F(z):=\int_{z_0}^z f(\zeta) \d \zeta:=\int_{\gamma_z} f(\zeta) \d \zeta,
$$
wobei $\gamma_z\colon [0,1]\to G$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg von einem fest gewählten $z_0\in G$ nach $z$ ist. $F$ ist wohldefiniert, da es nicht auf den gewählten Weg ankommt, da ja $\int_\gamma f(z) \d z=0$ für jeden (stückweise stetig differenzierbaren) geschlossenen Weg $\gamma$ gilt.
Jedoch wird das in der Funktionentheorie zu einer echten Bedingung. Das ist also ein wesentlicher Unterschied zur Analysis I. In $\mathbb R$ gibt es eben nicht sonderlich viele Wege von $x_0$ nach $x$ und für jede stetige Funktion verschwinden die geschlossenen Wegintegrale. Hier ist das wie gesagt eine echte Bedingung. Manche stetige Funktionen schaffen das, andere nicht.
Ein berühmtes (dir sicher bekanntes) Beispiel dafür ist die Abbildung $f\colon \mathbb C^*\to \mathbb C, \ z\mapsto \frac 1z$. Das ist sicherlich eine stetige Funktion. Betrachten wir den stetig differenzierbaren geschlossenen Weg $\gamma\colon [0,2\pi]\to \mathbb C^*, \ t\mapsto \e^{\i t}$, so erhalten wir
$$
\int_\gamma f(z) \d z=\int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t))\gamma'(t) \d t=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\e^{\i t}}\i\e^{\i t} \d t=\int_{0}^{2\pi} \i \d t=2\pi\i\neq 0.
$$
Edit: Damit ist gleichzeitig dein Beispiel für die zweite Aufgabe validiert👍
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1909
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-24
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Vielen Dank LLT und Nico,
Diese Ausführungen haben einiges geklärt.
Ich habe einfach in meinem ersten Studium so viel mit Wegintegralen gearbeitet, dass ich nie auf die Idee geokmmen wäre, dass man so etwas erst definieren muss.
Z.B. eine Ladung, die sich über einen bestimmten Weg durch ein elektrisches Feld bewegt oder so ähnlich.
Da war ich kurz geblendet, dass ich jetzt beweisen sollte was schon immer klar war.
Aber hier die genauen überlegungen zu sehen, wie so eine Wegintegral im Komplexen entsteht, dass wird mir für die kommende Prüfung viel helfen. Auch wenn es banal scheint.
Vielen Dank nochmals.
Ich schliesse den Beitrag noch nicht, denn die PRüfung war an dieser stelle noch lange nicht zu ende
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