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Analysis » Funktionalanalysis » Differentialoperator mit strikt negativen Eigenwerten
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Universität/Hochschule J Differentialoperator mit strikt negativen Eigenwerten
julian2000P
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  Themenstart: 2021-08-28

Hallo zusammen, ich betrachte eine alte Prüfungsaufgabe, wo es um folgendes RWP bzw. Eigenwertproblem geht: \[ u'' -\frac{3}{4x^2}u = \lambda u, \; \; u(1) = 0, u(2) = 0 \] Ich soll nun zeigen, dass es nur negative Eigenwerte $\lambda$ gibt. Ich glaube, dass die Lösung nur schwer zu finden ist, um die Eigenwerte konkret auszurechnen zu können. Ich habe aber leider keine wirkliche Idee wie ich das ganze anders angehen kann, würde mich daher über einen Ansatz bzw. einen Hinweis freuen. Grüße


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-28

Zeige durch partielles Integrieren$$ \lambda\int_1^2u(x)^2\,\mathrm dx = \int_1^2u(x)\left[u''(x)-\frac3{4x^2}\,u(x)\right]\mathrm dx <0 \;. $$--zippy


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-28

Hallo zippy, danke für die rasche Antwort. Damit hat es super funktioniert. Nur eine kurze Zusatzfrage: Kann ich folgendes behaupten bzw. ist folgendes richtig? \[ \langle .,. \rangle: C^2([1,2],\mathbb{R}) \times C^2([1,2],\mathbb{R}) \to \mathbb{R}; (u,v) \mapsto \int_1^2 u(x)v(x) \; dx \] ist ein positiv definitiv Skalarprodukt auf $C^2([1,2],\mathbb{R})$, und ich habe gezeigt, dass L ein negativ definiter Operator auf $C^2([1,2],\mathbb{R})$ ist, folglich kann L nur negative Eigenwerte haben. Grüße


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-28

\quoteon(2021-08-28 22:55 - julian2000P in Beitrag No. 2) ich habe gezeigt, dass L ein negativ definiter Operator auf $C^2([1,2],\mathbb{R})$ ist \quoteoff Auf dem ganzen Raum?


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-28

Oh, stimmt, danke, eigentlich habe ich das nur für den Lösungsraum der DG gezeigt, also auf \[ \mathfrak{L}:= \{u \in C^2([1,2]): Lu - \lambda u = 0, u(1)=u(2)=0\} \] Aber dann sollte es stimmen?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-28

\quoteon(2021-08-28 23:23 - julian2000P in Beitrag No. 4) $\mathfrak{L}:= \{u \in C^2([1,2]): Lu - \lambda u = 0, u(1)=u(2)=0\}$ \quoteoff Wie ist denn das $\lambda$ auf der rechten Seite zu verstehen? Soll $\mathfrak L$ ein bestimmter Eigenraum sein? Oder die Vereinigung aller Eigenräume?


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julian2000P
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-29

Hm, ja, wieder ein guter Punkt. Dann müsste ich wohl sowas wie \[ \mathfrak{L}(\lambda):=\{ u \in C^2([1,2]): Lu = \lambda u, u(1) = u(2) = 0 \} \] schreiben. Also als Eigenraum zum EW $\lambda$. Wobei das dann auch wenig Sinn macht, bzw. wenig bringt. War auch eigentlich nur so eine Überlegung von mir.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-29

Du musst den Definitionsbreich nur so weit einschränken, dass du ohne Randwerte partiell integrieren kannst:$$ D(L):=\bigl\{u\in C^2([1,2]):u(1)=u(2)=0\bigr\}$$


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julian2000P
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-29

Ah, ok alles klar, verstehe, Danke! Und auch nochmals danke für den Ansatz/Hinweis am Anfang. Grüße


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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
julian2000P hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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