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Lineare Algebra » Eigenwerte » Für Matrizen A*B=B*A und A diagonalisierbar ist B mit dem selben T^-1*B*T diagonalisierbar wie A
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Universität/Hochschule Für Matrizen A*B=B*A und A diagonalisierbar ist B mit dem selben T^-1*B*T diagonalisierbar wie A
Max1338
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  Themenstart: 2021-09-08

Guten Abend, ich verbeiße mich gerade an folgender Aufgabe: Sei $K$ ein Körper und seien $A, B \in K^{n \times n}$ Matrizen, so dass $A$ diagonalisierbar ist und $AB=BA $ gilt. z.Z: Falls $A$ $n$ paarweise verschiedene Eigenwerte hat, so gibt es eine invertierbare Matrix $T \in K^{n \times n}$, so dass $T^{-1}AT$ und $T^{-1}BT$ beide Diagonalgestalt haben. Da $A$ über $n$ verschiedene Eigenwerte verfügt muss $A$ die Form $\begin{pmatrix} a_1&&&\Huge0\\ & a_2 & \\ & & \ddots & & \\ \Huge0 & & & a_n \end{pmatrix}$ haben. Wird also von $T = E_n$ diagonalisiert. Nun muss jedoch $B = E_n$ sein, da für $A*B = C$ gilt $c_{jk} = a_j b_{jk}$ und für $B*A$ gilt $c_{jk} = a_k b_{jk} \Rightarrow b_{jk} = 0 $(da $a_j \not= a_k$). Damit folgt direkt das sowohl $A$ als auch $B$ durch $T=E_n$ diagonalisiert werden und zwar: $A = E_n*A*E_n$ und $E_n = E_n * B * E_n = E_n * E_n * E_n$ Sorry für die Formatierung, irgendwie bekomme ich die Linebreaks nicht korrekt formatiert, so das diese Teilweise echt ungünstig gemacht werden.


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-08

Eine Matrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerten muss nicht Diagonalgestalt haben. Übrigens ist es eigentlich so gedacht, dass man den Text ganz gewöhnlich schreibt und die Formeln mit LaTeX. Dann hat man diese Umbruchprobleme nicht. [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von ligning]


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Max1338
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-08

Korrekt, da war ich wohl etwas zu schnell. $B$ ist jedoch eine Diagonalmatrix oder nicht ? Mir ist sonst gerade aufgefallen, dass $B$ nicht $E_n$ sein muss sondern eine Skalarmatrix $B = c \cdot E_n$ für $c \in K$ sollte auch funktionieren. Wenn jedoch nun beide durch das selbe $T$ diagonalisiert werden dann muss doch $T$ auch von der Form $T=c \cdot E_n, c \in K$ sein. Jedoch muss nun wegen $D = T^{-1}*A*T = \frac{1}{c}E_n*A*cE_n$, $A$ trotzdem Diagonalgestalt haben, sonst geht die Gleichung nicht auf. Oder ich bin komplett auf den Holzweg.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, schon die Vermutung, dass $B$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein muss, ist nicht korrekt. (Einfaches Gegenbeispiel: Wähle $A$ und $B$ beide als Diagonalmatrizen.) Überlege Dir, dass jeder Eigenvektor von $A$ auch ein Eigenvektor von $B$ ist. \(\endgroup\)


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