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Physik » Mathematische Physik » Physikalische Bedeutung des Operators Laplace^2 - d^2/dt^2
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Universität/Hochschule Physikalische Bedeutung des Operators Laplace^2 - d^2/dt^2
mloe
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  Themenstart: 2021-09-10

Ich untersuche gerade den Operator \[\Delta^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\] und würde gerne eine physikalische Anwendung finden, aber ich sehe nicht was das sein könnte. Zuerst dachte ich, es hat etwas mit der biharmonischen Wellengleichung zu tun, aber dafür ist das Vorzeichen falsch. Gibt es irgendwo eine Liste vierdimensionaler partieller Differentialoperatoren, oder hat das jemand schon mal in einer Anwendung gesehen? Vielen Dank schon einmal


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PhysikRabe
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-10

Meinst du wirklich "Laplace^2"? Falls du eigentlich $\Delta\equiv\nabla^2$ (also "Nabla^2") meinst, dann ist das ein D'Alembert-Operator (bis auf Vorzeichen, und in Einheiten mit $c\equiv 1$). Grüße, PhysikRabe [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mathematische Physik' von PhysikRabe]


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mloe
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10

Ja das hätte ich vielleicht genauer spezifizieren sollen. Ich meine die inhomogene Gleichung des Operators \(L\) mit \[ L u = f \\ \Leftrightarrow \Delta^2 u - \frac{\partial^2}{\partial t^2} u = f \\ \Leftrightarrow \Delta ( \Delta(u)) - \frac{\partial^2}{\partial t^2} u = f. \\ \] Und das hat die Lösung für \( F_L \) die Fundamentallösung die Lösung \[ F_L * f \] Wie man aber das konkrete Anfangswertproblem oder das Initialwertproblem löst, weiß ich nicht.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-10

Verstehe, also geht es doch um das Quadrat des Laplace-Operators. Ja, das ist bis auf Vorzeichen eine Art biharmonischer Wellenoperator, wie du schon herausgefunden hast. Kannst du etwas über die Herkunft erzählen, bzw. etwas Kontext geben? Das könnte hilfreich sein. Grüße, PhysikRabe


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mloe
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10

Das ist leider das Problem. Mein Professor hat gemeint, dass wir für diesen Operator eine Fundamentallösung berechnen könnten, das habe ich auch hinbekommen. Aber das heißt der Grund, warum wir diesen Operator betrachtet haben, ist nur ein mathematischer und hat nichts mit der Physik zu tun. Ich hab auch keine Ahnung ob man solche Operatoren irgendwo nachgucken kann oder es irgendwo eine Sammlung dazu gibt. Rein vom Verhalten her hat der Operator als \[ \Delta^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} = (\Delta - \frac{\partial}{\partial t} ) \cdot (\Delta + \frac{\partial}{\partial t} ) \] eher etwas mit der Wärmeleitungsgleichung zu tun, aber auch da finde ich keine Anwendung. Deswegen stehe ich total auf dem Schlauch 😖


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PhysikRabe
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-10

\quoteon(2021-09-10 16:45 - mloe in Beitrag No. 4) Ich hab auch keine Ahnung ob man solche Operatoren irgendwo nachgucken kann oder es irgendwo eine Sammlung dazu gibt. \quoteoff Das ist eine gute Frage. Ich würde vermuten, dass es solche Werke gibt. Hast du schon in der Bibliothek recherchiert? \quoteon(2021-09-10 16:45 - mloe in Beitrag No. 4) Rein vom Verhalten her hat der Operator als \[ \Delta^2 - \frac{\partial^2}{\partial t^2} = (\Delta - \frac{\partial}{\partial t} ) \cdot (\Delta + \frac{\partial}{\partial t} ) \] eher etwas mit der Wärmeleitungsgleichung zu tun, aber auch da finde ich keine Anwendung. Deswegen stehe ich total auf dem Schlauch 😖 \quoteoff Leider weiß ich auch nicht wirklich weiter... Dein Operator ist ja quasi der biharmonische Wellenoperator für "komplexe Zeiten" (Wick-rotiert). Ob das eine physikalische Relevanz hat, weiß ich nicht. Aber wie sieht die Fundamentallösung aus? Wie sehen die Lösungen für typische Randwerte aus? Vielleicht kann man daraus Rückschlüsse ziehen, welche physikalische Bedeutung das Ding haben könnte. Deine obige Zerlegung könnte dafür hilfreich sein. Grüße, PhysikRabe


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mloe
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-10

Hier habe ich ein bisschen Kontext zu meiner Lösung angegeben: https://math.stackexchange.com/questions/4219574/fourier-transform-of-frace-xi2-t-xi2 Aber glaube das hilft nichts. Ich hab auch mal in einer Bibliothek geschaut, aber da hab ich nichts gefunden.


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Spock
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-11

Hallo! Ich denke, unter dem Stichwort "biharmonic operator" findet man ein paar Hinweise auf physikalische Anwendungen (Elastizitätstheorien, Gravitationstheorien, usw.), schau z.B. mal hier oder dort Grüße Juergen


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mloe
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-15

Alles klar danke! Ich schau da nochmal, aber vielleicht gibt es einfach keine physikalische Anwendung von dem Operator


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mloe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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