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Funktionentheorie » Integration » Beweis Residuensatz
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Universität/Hochschule J Beweis Residuensatz
LamyOriginal
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  Themenstart: 2021-09-12

Hallo, ich lerne für meine Funktionentheorie Prüfung und habe noch eine Frage, diesmal zum Beweis vom Residuensatz. Hier haben wir den Satz und den Beweis aus dem Skript und ich habe die Stelle markiert, an der ich Verständnisschwierigkeiten habe. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_InkedScreenshot_FT_1_.jpg Also die Stelle, an der durch gliedweise Integration der Laurentreihe von $f$ um $a_j$ folgt: $\sum_{j=1}^m n(\gamma, a_j )\int_{\gamma_j}f(z)dz = 2\pi i \sum_{j=1}^m n(\gamma, a_j )Res (f, a_j )$. Den Rest habe ich verstanden. Dazu noch unsere Definition des Residuums: Sei $z_0 \in \mathbb{C}, r > 0$ und f holomorph in $\dot U_r(z_0)$ (also $z_0$ isolierte Singularität von f. Weiter sei $f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(z − z_0)^k$ die Laurententwicklung von f in $\dot U_r(z_0)$. Dann $Res (f, z_0) = a_{−1}$. Also warum ist nach Definition anscheinend der $(-1)-$te Koeffizient der Laurentreihe von $f$ um $a_j$ $\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_j}f(z)dz$? Danke für jede Hilfe!


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SergejGleitman
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\) Moin! Ich gehe davon aus, dass $f$ auf dem Kreisring um $a$ mit innerem Radius $r$ und äußerem Radius $R$ definiert ist. Sei $\rho\in (r,R)$. Die Koeffizienten der Laurentreihe zu $f$ um $a$ sind bestimmt durch $$ a_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\partial U_\rho(a)} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\mathrm{d}z, \quad n\in \Z$$ Warum ist das so? Für $n\in\N_0$ ist das ganze sicherlich nach der Potenzreihenentwicklung klar. Für $n<0$ betrachtet man die Laurentzerlegung von $f=g+h$. $h$ sei der Hauptteil. Nach Definition ist $h$ auf $\C\setminus U_r(a)$ holomorph und es gilt $h(z)\to 0$ für $|z|\to\infty$. Betrachtet man $h^*(w):=a+\frac{1}{w}$ so stellt man Fest, dass siech diese Funktion in eine Potenzreihe entwickeln lässt. Davon ausgehend kann man $h$ als Laurententwicklung darstellen. So kommt man auf die Formal der Koeffizienten. Du solltest vielleicht noch einmal die Laurententwicklung nachschlagen. Vielleicht steht da der Beweis. Falls nicht: im Wesentlichen führt man die Formel für die Koeffizienten auf die Formel für die Potenzreihen zurück. LG Serj\(\endgroup\)


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LamyOriginal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-12

\quoteon(2021-09-12 16:11 - SergejGleitman in Beitrag No. 1) Die Koeffizienten der Laurentreihe zu $f$ um $a$ sind bestimmt durch $$ a_n = \int_{\partial U_\rho(a)} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\mathrm{d}z, \quad $n\in \Z$$ \quoteoff Vielen Dank, habe ich total übersehen! Dann steht da ja für $n=-1$ genau das, wozu ich eine Frage hatte.


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SergejGleitman
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\) Aaaah, ich habe den Vorfaktor $\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}$ vergessen, Asche auf mein Haupt. Ich habe meinen Beitrag entsprechend geändert... \(\endgroup\)


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