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Analysis » Folgen und Reihen » PZ Satz
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Schule J PZ Satz
Bekell
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  Themenstart: 2021-09-16

Es ist gesagt: \quoteon \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{p_{k}}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dotsb =\infty \quoteoff https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_PZSatz.png Das heisst für mich: Man kann vorne beliebig abschneiden, unendlich bleibt die Summe trotzdem...seh ich das richtig?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-16

Hallo Bekell, EDIT: hier stand etwas falsches, sorry. Und ja: von einer bestimmt divergenten Reihe kann man beliebig viele Reihenglieder weglassen, ohne dass das an der Divergenz etwas ändern würde. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Experimentelle Zahlentheorie' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]


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Bekell
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Danke Diophant, hatte es aus Wikipedia kopiert, "Satz von Euler". Danke für die kleine, aber nicht unwichtige Änderung.


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Tetris
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-16

Kommt nach Sieben nicht Elf? Lg, T.


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2021-09-16 21:20 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo Bekell, soll das so heißen: \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p_k}\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\dotsc=\infty\] ? Das ist eine Anwendung des sog. Minorantenkriteriums für unendliche Reihen. Und ja: von einer bestimmt divergenten Reihe kann man beliebig viele Reihenglieder weglassen, ohne dass das an der Divergenz etwas ändern würde. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Experimentelle Zahlentheorie' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant] \quoteoff Das wäre eine falsche Abschätzung: die Reihe $\frac 12 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1{2k+1}$ ist eine Majorante der Reihe über die Kehrwerte der Primzahlen, keine Minorante. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-09-16

\quoteon(2021-09-16 21:20 - Diophant in Beitrag No. 1) \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p_k}\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\dotsc=\infty\] Das ist eine Anwendung des sog. Minorantenkriteriums für unendliche Reihen. \quoteoff Die Reihe auf der rechten Seite der Ungleichung ist keine Minorante der Reihe auf der linken Seite, weil z.B.$$ \frac1{p_5}=\frac1{11}\not\ge\frac19 \;.$$--zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Bekell
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-16

Wer hat die 1/9 denn da reingeschmuggelt? Aber da die Summe ja sowieso ohne die 1/9 divergent ist, macht der zusätzliche Betrag nichts aus.... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-16

Hallo Nuramon, du hast natürlich völlig recht (da war ich irgendwie in Gedanken woanders). Ich habe diesen Teil oben mal wieder rausgenommen. Danke für den Hinweis! @Bekell: sorry nochmals für meinen Fehler. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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