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Analysis » Topologie » Offenheit der Menge aller invertierbaren Matrizen
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Universität/Hochschule Offenheit der Menge aller invertierbaren Matrizen
bender0104
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Mitteilungen: 19
  Themenstart: 2021-09-18

Hi, Sei K ein Körper, mit K=\IR oder K=\IC . Mit GL_n(K) bezeichne ich die Menge der invertierbaren Matrizen mit Einträgen in K. Die GL_n(K)\subsetequal\ K^nxn ist ja offen als Urbild der offenen Menge K-{0} unter der stetigen Abbildung det. 1) Gilt diese Aussage auch für einen allgemeinen Körper K? In unseren Skript hatten wir einen weiteren Satz bewiesen: Sei K=\IR oder K=\IC und A \el\ K^nxn invertierbar. Ist B\el\ K^nxn mit norm(B)<1/(norm(A^(-1))) für eine beliebig gewählte Matrixnorm, so ist A+B bzw. A-B ebenfalls invertierbar. Dazu wurde angemerkt, dass wir dadurch einen alternativen Beweis für die Offenheit der Menge der invertierbaren Matrizen im K^nxn erhalten. 2) Wieso folgt das daraus? Da ich die Anmerkung nicht nachvollziehen konnte, habe ich mir einen anderen Beweis überlegt. Es ist ja auch möglich direkt zu zeigen, dass die GL_n(K) im K^nxn offen ist. Wir müssen zeigen: \forall\ A\el\ GL_n(K)\exists\ \epsilon >0 : \forall\ B\el\ K^nxn mit norm(A-B)<\epsilon gilt: B\el\ GL_n(K). Wählt man für A\el\ GL_n(K), \epsilon so, dass \epsilon := 1/norm(A^(-1)) , dann gilt \forall\ B\el\ K^nxn mit norm(A-B)<\epsilon und für jedes x\el\ K^n -{0} folgendes: \epsilon norm(x) <= norm(Ax)<=norm(A-B) norm(x) + norm(Bx). Wg. norm(A-B)< \epsilon , ist 0 < (\epsilon -norm(A-B)) norm(x) <= norm(Bx). Also ist die durch B definierte lineare Abbildung injektiv, und B damit invertierbar. qed. Da wir Normen nur über Vektorräume mit einen Körper der reellen oder komplexen Zahlen definiert haben, schränkt dieser Beweis die Aussage auch auf solche ein. In der Analysis haben wir fast nur mit Vektorräumen über den reellen oder komplexen Zahlen gearbeitet. Ich versuch mir zu überlegen, welche Aussagen sich auch auf allgemeine Körper erweitern lassen. Hierbei hänge ich aber irgendwie. Ich freu mich über jede Antwort. LG


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-19

Hallo bender0104, zu 1): Man kann zeigen, dass für beliebige Körper \(K\) die Gleichung \(\operatorname{Gl}_n(K)=\det^{-1}(K\setminus\{0\})\) richtig ist. Allerdings müsstest Du erstmal sagen, was Du dann unter den Begriffen "offen" und "stetig" verstehst. Diese beziehen sich nämlich auf eine Topologie. Im Fall \(K=\mathbb{R}\) bzw. \(K=\mathbb{C}\) hat man den euklidischen Betrag, welcher die natürliche Topologie auf \(K\) induziert und auch in der Definition einer Norm auf \(K^{n\times n}\) vorkommt, welche wiederum eine Topologie induziert. Zu 2): Wenn Du schon weißt, dass für jedes \(C\) mit \(\|C\|<\frac{1}{\|A^{-1}\|}\) die Matrix \(A-C\) invertierbar ist, dann kannst Du doch einfach \(C=A-B\) einsetzen und erhältst, dass aus \(\|A-B\|<\frac{1}{\|A^{-1}\|}=:\varepsilon\) die Invertierbarkeit von \(A-C=A-(A-B)=B\) folgt.


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Kezer
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Mitteilungen: 1455
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Algebraiker würden möglicherweise folgende Antwort auf 1) geben: Die Determinante ist gegeben durch ein Polynom $\det \in k[x_{ij}:1 \leq i,j \leq n]$ (Leibniz-Formel) und $\GL_n(k) = M_n(k) \setminus V(\det)$ ist also in der Zariski-Topologie offen. Siehe z.B. Satz 3 in Triceratops' Artikel für eine Anwendung dieser Eigenschaft. (Obacht: Die Zariski-Topologie ist nicht die euklidische Topologie für $k = \R$ oder $k = \CC$.)\(\endgroup\)


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