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Universität/Hochschule J Metrik beweisen
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  Themenstart: 2021-09-23 11:49

Hallo zusammen Ich habe hier eine Aufgabe, wobei \((M,d_1),(M,d_2)\) metrische Räume sind. Ich habe folgende Metrik gegeben \(d'((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}\) wobei \((x_1,x_2),(y_1,y_2)\in M\). Nun muss ich hier die Dreiecksungleichung beweisen, doch irgendwie sehe ich da nicht was ich dazu addieren muss. Ich habe schon ziemlich viel versucht aber es klappte nie. Also eigentlich muss ich ja zeigen dass \(d'((x_1,x_2),(y_1,y_2))\leq d'((x_1,x_2),(z_1,z_2))+d'((y_1,y_2),(z_1,z_2))\) giltet, doch ich komme nicht darauf. Ich dachte man könnte mal \(\sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+d_2(x_2,y_2)^2}\leq \sqrt{(d_1(x_1,z_1)+d_1(y_1,z_1))^2+(d_2(x_2,z_2)+d_2(y_2,z_2))^2}\) abschätzen und dann so auf das gewünschte kommen, doch da klappts dann irgendwie auch nicht. Aber meines Erachtens muss ich irgendwie benutzen dass \(d_1,d_2\) Metriken sind, die Frage ist nur wo und wie. Könnte mir da jemand helfen?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-23 12:01

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du möchtest ja $$ d'((x_1,y_1), (x_3,y_3)) \leq d'((x_1,y_1), (x_2,y_2)) + d'((x_2,y_2), (x_3,y_3)) $$ zeigen. Ich würde ohne die Wurzeln arbeiten und die quadrierte Ungleichung versuchen nachzuweisen. Du kannst dir überlegen, dass es reicht folgende Ungleichung zu zeigen: $$ d_1(x_1,x_2)d_1(x_2,x_3) + d_2(y_1,y_2)d_2(y_2,y_3) \leq \sqrt{d_1(x_1,x_2)^2 + d_2(y_1,y_2)^2}\sqrt{d_1(x_2,x_3)^2 + d_2(y_2,y_3)^2}. $$ Wenn du dir das überlegt hast kannst du die Cauchy-Schwarz-Ungleichung benutzen. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23 13:19

hallo, vielen dank für die Antwort. Leider habe ich den durchblick noch nicht, da ich mit deinen y_1,2,3 nicht zurecht komme. Muss ich nicht folgendes zeigen: \(d((x_1,x_2),(y_1,y_2))\leq d((x_1,x_2),(z_1,z_2))+d((y_1,y_2),(z_1,z_2))\)? oder darf ich auch zeigen dass \(d((x_1,x_2),(z_1,z_2))\leq d((x_1,x_2),(y_1,y_2))+d((y_1,y_2),(z_1,z_2))\)?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-09-23 13:35

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, zu zeigen ist $$ d'(x,z)\leq d'(x,y)+d'(y,z). $$ Dabei habe ich einfach $x=(x_1,y_1),\ y=(x_2,y_2)$ sowie $z=(x_3,y_3)$ gesetzt. Ausgehend davon können wir die zu zeigende Ungleichung auf beiden Seiten quadrieren und erhalten die äquivalente Ungleichung $$ d_1(x_1,x_3)^2+d_2(y_1,y_3)^2\leq d_1(x_1,x_2)^2+d_2(y_1,y_2)^2+2\sqrt{d_1(x_1,x_2)^2+d_2(y_1,y_2)^2}\sqrt{d_1(x_2,x_3)^2+d_2(y_2,y_3)^2}+d_1(x_2,x_3)^2+d_2(y_2,y_3)^2. \tag1 $$ Da $d_1$ und $d_2$ Metriken sind erhalten wir durch Quadrieren der Dreiecksungleichung für beide Metriken $$ d_1(x_1,x_3)^2+d_2(y_1,y_3)^2\leq d_1(x_1,x_2)^2+2d_1(x_1,x_2)d_1(x_2,x_3)+d_1(x_2,x_3)^2+d_2(y_1,y_2)^2+2d_2(y_1,y_2)d_2(y_2,y_3)+d_2(y_2,y_3)^2 \tag2 $$ Der Vergleich von (1) und (2) zeigt, dass es reicht die Ungleichung aus meinem ersten Beitrag zu zeigen. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-23 14:13

ah ja macht Sinn, vielen Dank!!


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