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Kein bestimmter Bereich ** Grenzwertig XIII
Squire
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Dabei seit: 18.08.2015
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  Themenstart: 2021-09-24

Bestimme $\large \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^n dx$ Lösungen wie immer mit PN erbeten. Viel Freude und schönes Wochenende! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-28 11:15

Glückwunsch an JoeM shadowking MartinN und Einladung an alle anderen, sich auch an der Aufgabe zu versuchen! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-01 14:53

Das Wochenende naht! Zeit für ein kleines Matheproblem? Grüße Squire


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Wauzi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-01 20:28

\quoteon(2021-10-01 14:53 - Squire in Beitrag No. 2) Das Wochenende naht! Zeit für ein kleines Matheproblem? Grüße Squire \quoteoff Ich hoffe sehr; ich schiebe dieses Problemchen seit paar Tagen vor mir her und komme nicht dazu. Rentnerstreß... Gruß Wauzi


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Squire
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05 13:27

Gratulation auch an Wally! Ich lasse das Rätsel noch ein wenig stehen, bevor ich auflöse. Grüße Squire


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-05 17:56

Ich habe das Ergebnis nur weitergegeben, meine Kollegen Sascha und Flo haben es ausgerechnet. Viele Grüße Wally


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Wauzi
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-05 23:08

Und ich habe vorhin festgestellt, daß ich meine Lösung am Sonntag an mich selnst geschickt habe..... Naja, zumindest ist sie angekommen. 😎 Gruß Wauzi


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Squire
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-10 17:33

Gratulation auch an Wauzi und MontyPythagoras! Wieder gibt es eine Vielfalt an Lösungswegen. Hier ist meiner: \showon Erstens: Vorfaktor in das Integral. $\large \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^n dx=(u=\sqrt{n}x)=\lim_{n \to \infty} \int_0^\sqrt{n} \frac{1}{\left( 1+\frac{u^2}{n}\right)^n} du$ Zweitens: Vertauschung Grenzwert-Integral mit dominierter Konvergenz rechtfertigen. $\large 0 \leq \int_0^\sqrt{n} \frac{1}{\left( 1+\frac{u^2}{n}\right)^n} du \leq $(binomischer Lehrsatz)$\large\leq\int_0^\infty \frac{1}{1+u^2} du=\frac\pi2$ Daher drittens: $\large \lim_{n \to \infty} \int_0^\sqrt{n} \frac{1}{\left( 1+\frac{u^2}{n}\right)^n} du= \int_0^\infty \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\left( 1+\frac{u^2}{n}\right)^n} du=\int_0^\infty \frac{1}{e^{u^2}} du=$(Gaußsches Integral)$\large=\frac{\sqrt{\pi}}2$ \showoff Alternative Lösungswege ab sofort hier herzlich willkommen! Danke nochmals, schönen Sonntag und Grüße Squire


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wauzi
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-14 22:54

\quoteon(2021-10-10 17:33 - Squire in Beitrag No. 7) Alternative Lösungswege ab sofort hier herzlich willkommen! \quoteoff Die Lösung von Squire finde ich sehr schön. Mein Lösungsansatz war dagegen völlig anders: Substitution führt zu int(cos^(2n-2)(z),z,0,\pi/4) Dann wird die obere Grenze auf \pi/2 hinausgeschoben, da man sonst in grauenhafte Rechnungen kommt. Der entstandene Fehler ist leicht abzuschätzen. Das neue Integral läßt sich durch wiederholte Substitution auf das Wallissche Produkt zurückführen, dessen Grenzwert bekannt ist. Interessant an diesem Weg ist, daß man mit den Rekursionsformeln für int(cos^n(z),z,0,\pi/2) für gerades bzw ungerades n den Wert des Wallisschen Produkts bestimmen kann, ohne den Wert der Integrale zu kennen. Und dann wird aus dem so ermittelten Wallisschen Produkt wiederum der Wert der Integrale bestimmt. (Wenn auch nur asymptotisch für n->\inf ) Gruß Wauzi


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-19 20:53

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Meine Kollegen haben es so gemacht: \hideon Wegen \(\D \frac{1}{1+x^2}\le\frac{1}{x^2}\) ist \(\D \int_1^\infty \frac{\sqrt{n}}{(1+x^2)^n} dx\to 0\). Man kann also \(\D \sqrt{n}\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} dx\) betrachten. Mit partieller Integration und \(\D \frac{1}{(1+x^2)^{n}}=\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}-x\cdot\frac{x}{(1+x^2)^{n+1}}\) lässt sich das Integral \( \D\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n}\ dx\) rekursiv bestimmen (findet sich auch in manchen Formelsammlungen). Die Stirlingformel erledigt dann den Rest. \hideoff Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Wauzi
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-21 00:29

Ich habe versucht, das Integral mit dem binomischen Satz auszuwerten. Die Reihen, die dabei entstehen sind unschön. Man kann die obere Grenze des Integrals in Abhängigkeit von n nach unten verschieben und den Rest abschätzen. Hier hat sich sqrt(1/n) angeboten, aber dies reicht knapp nicht. Dennoch denke ich, daß es mit dieser Brutalmethode gehen muß. Falls jemand hier weitergekommen ist als ich, wäre eine Rückmeldung schön. Gruß Wauzi\


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