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  Beweis Satz von Laurent |
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LamyOriginal
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 |  Themenstart: 2021-09-24
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Hallo, ich lerne gerade für meine Prüfung in Funktionentheorie und habe noch eine Frage zum Beweis vom Satz von Laurent, welcher die Homologieversion der Cauchyschen Integralformel verwendet.
Vorab erstmal die Cauchysche Integralformel (Homologieversion): $D \in \mathbb{C}$ Gebiet, $f$ holomorph in $D$ und $\gamma$ nullhomologer Zyklus modulo $D$, dann gilt $n(\gamma,z)f(z)= \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$ für $z\in D\backslash |\gamma|$, wobei $n(\gamma,z)$ für ein $z \in \mathbb{C}\backslash |\gamma|$ die Umlaufzahl ist.
Hier der zu beweisende Satz von Laurent:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_Bild7.png Der Beweis aus dem Skript:
Seien $r_1 s1$. Potenzreihenentwicklung von $f_1$ um $z_0$ ergibt dann den Potenzreihenanteil der Laurentreihe und Potenzreihenentwicklung von $f_2$ um $\infty$4 den Hauptteil der Laurentreihe. $\Box$
$\textbf{meine Fragen}$: Ist das Gebiet im Satz von Laurent der Kreisring $A$? Ich habs mal gezeichnet: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_Bild5.png
Ein Zyklus heißt ja nullhomolog, wenn die Umlaufzahl 0 ist, also $n(\gamma,z)=0 $ für $z \in \mathbb{C}\backslash D$ und die Cauchy Integralformel gilt ja nur für nullhomologe Zyklen und für $z \in D\backslash |\gamma|$ (nicht wie die Umlaufzahl für $z \in \mathbb{C}\backslash D$). Warum ist die Cauchysche Integralformel anwendbar? Beide Zyklen $\gamma_1 = |\zeta - z_0|=s_1$ und $\gamma_2 = |\zeta - z_0|=s_2$ sind doch keine nullhomologe Zyklen, außer der eine läuft im Uhrzeigersinn und der andere dagegen (wie bestimme ich die Laufrichtung?). Und warum rechnet man hier im Beweis bei $f$ Minus? Liegt es daran, dass wir zwei Zyklen haben und nach Defintion der Umlaufzahl gilt $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$ hier und wegen der entgegengesetzen Umlaufsrichtung Minus halt? Aber: ein $z$ aus dem Kreisring wird doch gar nicht von $\gamma_1$ umlaufen, sondern nur einmal von $\gamma_2$, oder? Ich verstehe nicht ganz wo und was das $n(\gamma,z)$ aus der Cauchy Integralformel hier genau ist...
Meine $\textbf{zweite Frage}$ bezieht sich auf die letzten beide Sätze des Beweises: Warum sind $f_1$ und $f_2$ für $> s_1$ bzw. $< s_2$ holomorph? Und ich verstehe nicht wie man die Potenzreihenentwicklung für $|z −z_0| \textbf{>} s_1$ macht und warum man $f_2$ um $\infty$ entwickelt und auf den Hauptteil kommt (welcher ja negative Exponenten hat, also von der Form $\sum_{-\infty}^{-1}a_k(z-z_0)^k$ ist).
Ich weiß nur: wenn $f(z)$ holomorph für $|z − z_0| < r$, r>0, dann ist $f$ eindeutig darstellbar durch eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0$: $f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z − z_0)^k$ und konvergiert in $B_r(z_0)$.
Danke für jede Hilfe und Erklärung!
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LamyOriginal
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-24
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UPDATE : meine zweite Frage konnte ich mir selbst beantworten durch die Definition der Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen.
quoteon(2021-09-24 11:04 - LamyOriginal im Themenstart)
Warum ist die Cauchysche Integralformel anwendbar? \quoteoff
Eine Kurve wurde positiv, die andere negativ orientiert, daher die Nullhomologie des Zyklus. Aber kann man das einfach so annehmen?
Welche $\textbf{Frage}$ noch übrig bleibt: wie kommt man auf
$f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\int_{|\zeta - z_0|=s_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta - \frac{1}{2 \pi i}\int_{|\zeta - z_0|=s_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = f_1(z) - f_2(z)$ ? Also warum ist $f_1$ positiv und $f_2$ negativ nach der Cauchy Integralformel? Was genau ist hier die Umlaufzahl $n(\gamma,z)$ für ein $z\in A\backslash |\gamma|$?
Danke!
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nzimme10
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wenn du mit diesem Beweis Probleme hast, dann kannst du auch versuchen mit Hilfe des Integralsatzes von Cauchy für Ringgebiete einen ähnlichen Beweis wie beim Potenzreihenentwicklungssatz durchzuführen.
Zur Erinnerung:
Satz. Sei $g$ holomorph auf
$$
K_{r,R}(z_0):=\lbrace z\in \mathbb C \mid r<|z-z_0|Beweis. Wir betrachten auf dem Ringgebiet die Differentialform $g \d z$. Da $g$ holomorph ist hat man
$$
\mathrm d(g\d z)=\frac{\partial g}{\partial \overline z} \ \mathrm d\overline z\wedge \mathrm d z=0
$$
und folglich mit dem Satz von Stokes
$$
\int\limits_{|\zeta-z_0|=R_1} g(\zeta) \d \zeta-\int\limits_{|\zeta-z_0|=r_1} g(\zeta) \d \zeta=\int\limits_{\partial K_{r_1,R_1}} g(\zeta) \d \zeta=\int\limits_{K_{r_1,R_1}} \mathrm d(g\d \zeta) =0.
$$
-----------------------------------------------------------------------------
Abgesehen davon sagt doch die Cauchy-Integralformel, dass
$$
n(\Gamma,z)f(z)=\frac{1}{2\pi \i}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\d \zeta, \quad z\in G\setminus |\Gamma|
$$
genau dann für alle holomorphen $f\colon G\to \mathbb C$ gilt, wenn $\Gamma$ nullhomolog in $G$ ist. Dein Gebiet ist nun ein Ringgebiet (Annulus) $G=K_{r,R}(z_0)$ wie in obigem Satz. Weiter betrachten wir $\gamma_1=\partial B_{r_1}(z_0)$ sowie $\gamma_2=\partial B_{R_1}(z_0)$ mit $rr_1 \\ 1, & |z-z_0|R_1 \\ 1, & |z-z_0|R_1 \\ 1, & r_1<|z-z_0|[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25
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Hallo Nico,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Das hat mir sehr geholfen :)
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-25
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Hallo,
gerne. Haben sich deine Fragen denn damit geklärt?
LG Nico
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LamyOriginal
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26
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\quoteon(2021-09-25 10:06 - nzimme10 in Beitrag No. 4)
gerne. Haben sich deine Fragen denn damit geklärt?
\quoteoff
Bezüglich des Beweises ja, aber ich habe noch eine Frage wie man aus diesem Satz die Charakterisierung von isolierten Singularitäten von $f$ durch die Laurententwicklung von $f$ herleitet bzw. erklärt. Habe dazu einen neuen Thread eröffnet, falls du eine Antwort darauf hast :)
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LamyOriginal hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LamyOriginal hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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