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Universität/Hochschule J 3-dimensionales Integral
Stefanboltzmann
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  Themenstart: 2021-09-24

Hallo zusammen, ich verzweifle an folgendem Integral: (2\pi h)^(-3) int(,,,) d^3 p e^(-\beta c abs((p^>))+i/h p^>(q^>-q^>'))=1/2\pi^2 ch\beta/((q^>-q^>')^2+(ch\beta)^2)^2 Es scheitert daran, dass ich keinen richtigen Ansatz zum Lösen finde. Meines Erachtens nach bringt mich ein transformieren in Kugelkoordianten wegen des p's im zweiten Summanden im Exponenten nicht weiter. Genauso schaffe ich es nicht, den Betrag von p so umzuschreiben, dass ich das Integral als 3-dimensionales Gauß-Integral identifizieren kann und mit dem bekannten Lösungsansatz integrieren kann. Ich hoffe, es kann mir einer einen Tipp für den Ansatz geben. Grüße Boltzmann


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-24

\quoteon(2021-09-24 12:39 - Stefanboltzmann im Themenstart) Meines Erachtens nach bringt mich ein transformieren in Kugelkoordianten wegen des p's im zweiten Summanden im Exponenten nicht weiter. \quoteoff Das Argument verstehe ich nicht. In Kugelkoordinaten mit der $z$-Achse in Richtung von $\mathbf q-\mathbf q'$ lautet das Integral$$ \int\mathrm d^3p \; e^{-\beta\,c\,|\mathbf p| + \frac ih \, \mathbf p\cdot(\mathbf q-\mathbf q')} = 2\pi\int_{-1}^1\mathrm d\cos\theta \int_0^\infty\mathrm dp \; p^2 \, e^{-\beta\,c\,p + \frac ih \, p\,|\mathbf q-\mathbf q'|\cos\theta} \;. $$Die Integration über $p$ liefert zuerst$$ 4\pi\int_{-1}^1\frac{\mathrm d\cos\theta}{ \left[\beta\,c - \frac ih\,|\mathbf q-\mathbf q'|\cos\theta \,\right]^3} $$und die über $\cos\theta$ dann$$ 8\pi\,{\beta c\over\left[(\beta c)^2+ \left(\frac1h\,|\mathbf q-\mathbf q'|\right)^2\right]^2} \;. $$--zippy


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