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Logik, Mengen & Beweistechnik » Prädikatenlogik » Modell für eine Aussage
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Kein bestimmter Bereich Modell für eine Aussage
Nunie
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  Themenstart: 2021-09-24

Ich hab hier folgende Aufgabe und verstehe die vorgeschlagene Lösung nicht: Es wurde nach einem Modell für folgende Aussage gefragt, die diese Aussage falsch macht: \(\exists x_{1} \forall x_{2} R_{1}\left(x_{2}, x_{1}\right) \vee R_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\) Die Lösung ist: \(P_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1}>x_{2}\right\} \text { und } P_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1} \leq x_{2}\right\}\) mit (R,P1,P2). Ich weiß das es mit den Quantoren zusammenhängen muss, da reele Zahlen ein geordneter Körper sind. Über Tips wäre ich sehr dankbar.


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-09-24 12:51 - Nunie im Themenstart) \(\exists x_{1} \forall x_{2} R_{1}\left(x_{2}, x_{1}\right) \vee R_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\) Die Lösung ist: \(P_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1}>x_{2}\right\} \text { und } P_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1} \leq x_{2}\right\}\) mit\( (R,P1,P2) \). \quoteoff Hallo, Nunie, mit dem Button "Zeige Vorschau" kann man seine Posts vor dem endgültigen Abschicken noch mal kontrollieren. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)


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tactac
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-09-24

\quoteon Es wurde nach einem Modell für folgende Aussage gefragt, die diese Aussage falsch macht: \quoteoff Ein Modell für eine Aussage ist doch eine Interpretation der [Sorten, ] Funktionssymbole und Relationssymbole, unter der die Aussage wahr ist.


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Nunie
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-24

Ja, mir ist nur nicht klar, welche reelen Zahlen ich einfügen soll, damit die Aussage falsch wird.


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tactac
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Ein Modell von $\phi$, das $\phi$ falsch macht, gibt es definitionsgemäß nicht. Unabhängig davon, was $\phi$ konkret ist.\(\endgroup\)


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Nunie
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-24

Dann lerne ich was falsches meinst Du? Im Studientext scheint es so, dass wir Modelle nehmen können unter der die Aussage falsch oder wahr sein kann.


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tactac
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-09-24

\quoteon(2021-09-24 23:07 - Nunie in Beitrag No. 5) Im Studientext scheint es so, dass wir Modelle nehmen können unter der die Aussage falsch oder wahr sein kann. \quoteoff Es kann Interpretationen geben, unter denen die Formel wahr ist, und es kann Interpretationen geben, unter denen die Formel falsch ist. Modelle der Formel allerdings sind nur die Interpretationen, unter denen sie wahr ist. Wie dem auch sei. Vermutlich wolltest du nach Interpretationen fragen, unter denen die Formel falsch wird (vll. aber auch nicht, da das trivial ist). Eine Lösung wäre dann jedenfalls, dass die Relationssymbole durch die überall falsche Relation interpretiert werden und das Diskursuniversum nichtleer ist. Oder alternativ: leeres Diskursuniversum mit beliebigen Relationen. Und die angegebene Lösung wäre falsch.


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Nunie
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-25

Ich habe es so interpretiert, dass hier (R,P1,P2) das Universum der reelen Zahlen gemeint sind. Bei der Lösung stand noch eine Interpretation mit den natürlichen Zahlen unter der das Modell richtig ist.


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tactac
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Damit diese Interpretation eine ist, unter der die Formel falsch ist, müsste folgendes gelten: $$\forall x\in\IR.\ \exists y\in \IR.\ x \le y \land \lnot(x \le y).$$ Und das stimmt natürlich nicht.\(\endgroup\)


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