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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Beweis über Quotientenfunktion
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Universität/Hochschule J Beweis über Quotientenfunktion
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-09-25

Hallo Zusammen Ich hätte da folgende Aufgabe. Sei \(f:T\rightarrow S\) eine Funktion und \(R\) eine relation auf S. Wir definieren die Relation \(P\) durch $$x\,P\,y\Leftrightarrow f(x)\,R\,f(y)$$ Wir nehmen nun an, dass \(R\) eine Äquivalenzrelation ist. Zeige dass die folgende Funktion immer injektiv ist $$g:T/P\rightarrow S/R, B\mapsto A \,\,\,s.d. \,\,\,f(B)\subset A$$ Ich wollte wie folgt da heran gehen: Wähle \(B,B'\in T/P\) so dass \(g(B)=A, \,\,g(B')=A'\) und \(g(B)=g(B')\). Wir müssen zeigen, dass \(B=B'\). Da ich keinen "direkten" Beweis fand, dachte ich mir ich zeige es durch zwei Inklusionen. \("\subset"\) Da B eine Äquivalenzklass ist gilt \(B\neq \emptyset\). Also wähle \(b\in B\). Dann gilt \(f(b)\in A=g(B)=g(B')\). Wir wissen dass \(g(B')=\{y\in S|y\,R\,a\} \,\,\forall a\in g(B')\). Nun sehe ich aber irgendwie nicht, wie ich beweisen kann dass \(b\in B'\) ist. Eigentlich möchte ich das ganze mit der Relation \(R\) darstellen und dann die Äquivalenz zwischen den Relationen ausnutzen. Doch irgendwie komme ich nicht darauf. Hätte mir da jemand einen Hinweis? Vielen Dank und liebe Grüsse

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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-26

Moin Strandkorb, wähle zusätzlich zu deinem $b \in B$ ein $b' \in B'$. Dann gilt \[f(b) \in f(B) \subseteq g(B) = g(B') \supseteq f(B') \ni f(b').\] Überlege dir (in der genannten Reihenfolge), was daraus für (i) $f(b)$ und $f(b')$ (ii) $b$ und $b'$ und schließlich (iii) $B$ und $B'$ folgt. LG, semasch

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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-26

Guten Morgen! Oh ja jetzt ist alles klar, sobald ich ei zweites Element gewählt habe klappte es sofort! Vielen Dank

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