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Universität/Hochschule Beweis der Surjektivität
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-09-26 09:52

Hallo Zusammen. Ich habe gerade folgende Aufgabe gelöst: Sei \(f:T\rightarrow S\) eine Funktion und \(R\) eine relation auf S. Wir definieren die Relation \(P\) durch $$x\,P\,y\Leftrightarrow f(x)\,R\,f(y)$$ Wir nehmen nun an, dass \(R\) eine Äquivalenzrelation ist. Und definieren uns $$h:T/P\rightarrow s/R,\,\,B\mapsto A\,\, s.d. \,\,f(B)\subset A$$. Zeigen Sie, dass h bijektiv ist, falls f surjektiv ist. Ich hätte das wie folgt gemacht: Wir wissen bereits, dass h immer injektiv ist. Also genügt es zu zeigen dass h surjektiv ist. Sei nun \(A\in S/R\). Wir nehmen an, dass es kein \(B\in T/P\) gibt so dass \(f(B)\subset A\). Das bedeutet aber dass $$\forall B\in T/P \,\,\,\exists f(b)\in f(B), \,\, s.d.\,\,f(b)\neq a$$ für gewisse \(a\in A\). Da nun aber f surjektiv ist \(\exists t\in T\,\,s.d\,\, f(t)=a\). Das bedeutet aber, dass $$f(b)\neq f(t) \Leftrightarrow f(b)\,\,\not R \,\,f(t) \stackrel{R\,\, Äquivalenzrelation}{\Leftrightarrow} f(t) \,\,\not R \,\, f(b) \Leftrightarrow \ t \,\,\not P \,\,b$$ Das bedeutet nun aber dass \(t \not \in B\). Da dies aber für alle B gilt, haben wir hier einen Wiederspruch. Daher muss h surjektiv sein. Ich bin mir hier nicht ganz sicher ob man das so machen kann und wäre froh wenn sich das jemand anschauen könnte. Vielen Dank für eure Hilfe. Grüsse Strandkorb


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