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  Cauchy Integralsatz Homologie-Version |
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LamyOriginal
Aktiv 
Dabei seit: 20.11.2018
Mitteilungen: 410
 |  Themenstart: 2021-09-29
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Hallo, ich habe eine Frage zum Beweis vom Cauchy-Integralsatz:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50806_Bild11.png Wurde im Beweis im letzten Schritt ausgenutzt, dass $\gamma$ nullhomolog ist, also $\underbrace{n(\gamma,a)}_{=0}F(a) = 0$? Falls ja: warum gilt das? $a$ ist hier doch aus $D\backslash |\gamma|$, aber ein Zyklus $\gamma$ heißt nullhomolog mod $D$, falls $n(\gamma,a) = 0 \forall a \in \mathbb{C}\backslash D$. Denn dann wäre doch auch in der Cauchy Integralformel alles gleich Null, wenn $n(\gamma,a)=0$ ist, oder nicht? Denn in der Cauchy-Integralformel wird doch auch $f$ über einen nullhomologen Zyklus integriert... Ich hoffe ihr versteht was ich meine.
$\textbf{Cauchy Integralformel:}$ Es sei $D \subset \mathbb{C}$ ein Gebiet, $f$ holomorph in $D$ und $\gamma$ ein nullhomologer Zyklus modulo $D$. Dann gilt $n(\gamma,a)f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$ $\forall z\in D\backslash |\gamma|$
Danke für jede Hilfe!
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-09-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
es gilt per definitionem von $F$
$$
F(a)=\Big[(z-a)\cdot f(z) \Big]_{z=a}=(a-a)f(a)=0.
$$
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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Mitteilungen: 410
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-29
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\quoteon(2021-09-29 20:24 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
es gilt per definitionem von $F$
$$
F(a)=\Big[(z-a)\cdot f(z) \Big]_{z=a}=(a-a)f(a)=0.
$$
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]
\quoteoff
Oh mein Gott wie peinlich, habe ich total übersehen... vielen vielen Dank!! Habe mir seit gestern Abend den Kopf zerbrochen *face palm*
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