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| Autor |
  Mengen in der komplexen Zahlenebene |
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cphysik
Aktiv 
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 66
 |  Themenstart: 2021-10-05
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe, wo ich ein bisschen Hilfe brauchen würde.
Sei \(f : \mathbb{C} → \mathbb{C} \) mit \( f (z) = z^2.\) Es bezeichnet Re(z) den Realteil und Im(z) den Imaginärteil von \(z \in \mathbb{C}.\)
(a) Skizzieren sie die Mengen \(V = \{ z \in \mathbb{C}: Re(z) = 1 \} \) und \(H = \{z \in \mathbb{C}: Im(z) = 1 \} \). Berechnen und skizzieren Sie die Bildmengen von V und H unter f.
also zum Skizzieren der Mengen V und H würde ich sagen, dass für V einfach die Vertikale bei dem Punkt \(x=1\) ist und für H die Horizontale bei \(y=1\), wobei ich die reale Achse als x und die imaginäre als y bezeichne.
aber jetzt kommt meine Verwirrung, was genau bedeutet "Berechnen und
skizzieren Sie die Bildmengen von V und H unter f", soll ich da herausfinden, wo der Realteil von \(z^2 = 1\) ist?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-10-05 18:31 - cphysik im Themenstart)
also zum Skizzieren der Mengen V und H würde ich sagen, dass für V einfach die Vertikale bei dem Punkt \(x=1\) ist und für H die Horizontale bei \(y=1\), wobei ich die reale Achse als x und die imaginäre als y bezeichne.
\quoteoff
Ja: das passt so.
\quoteon(2021-10-05 18:31 - cphysik im Themenstart)
aber jetzt kommt meine Verwirrung, was genau bedeutet "Berechnen und
skizzieren Sie die Bildmengen von V und H unter f", soll ich da herausfinden, wo der Realteil von \(z^2 = 1\) ist?
\quoteoff
Na ja, die Menge aller Punkte bspw. auf der Geraden \(\on{Re}(z)=1\) hat ja irgendein Bild unter der Funktion \(f\). Und dieses Bild sollst du als Menge beschreiben.
Dazu parametrisiert man am besten die Urbildmenge geeignet, so dass sie (möglichst, hier geht es in beiden Fällen) von einem einzigen Parameter abhängig ist. Dann lässt man die Funktion darauf los und erhält im Idealfall Real- und Imaginärteil der Bildmenge ebenfalls in Abhängigkeit von diesem Parameter. Das ist dann im Prinzip die gesuchte Menge, in manchen Fällen lässt sich der Parameter dann wieder eliminieren (auch das ginge hier in beiden Fällen).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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AlphaSigma
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-05
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Hallo cphysik,
wahrscheinlich wir die Aufgabenstellung mit diesem Beispiel (den ersten beiden Grafiken) klarer.
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cphysik
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
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Hallo Diophant,
danke für die Antwort
also zum Verständnis, wenn ich jetzt als Beispiel \(g(x) = x^2\) mit \( A = \{1,2,3\} \) dann ist die Bildmenge von A unter g wäre \(\{1,4,9 \} \)?
aber wie mache ich das jetzt mit der Urbildmenge. Weil die Umkehrfunktion, welche mir das Urbild geben würde, wäre ja \(f^{-1} = \sqrt{z} \) oder?
Also wenn ich jetzt die Funktion drauf los lasse, würde ja das bedeuteten
\(\sqrt{z} = 1 \rightarrow z = 1 \rightarrow \) die Bildmenge ist wieder die Menge der Punkte der Vertikalte bei \(x=1\).
LG
cphysik
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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cphysik
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
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Hallo AlphaSigma,
danke für die Antwort, also würde es nicht die Vertikale sein, sondern der Kreis, wobei der Radius 1 ist?
LG
cphysik
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
\quoteon(2021-10-05 19:11 - cphysik in Beitrag No. 3)
also zum Verständnis, wenn ich jetzt als Beispiel \(g(x) = x^2\) mit \( A = \{1,2,3\} \) dann ist die Bildmenge von A unter g wäre \(\{1,4,9 \} \)?
\quoteoff
Ja.
\quoteon(2021-10-05 19:11 - cphysik in Beitrag No. 3)
aber wie mache ich das jetzt mit der Urbildmenge. Weil die Umkehrfunktion, welche mir das Urbild geben würde, wäre ja \(f^{-1} = \sqrt{z} \) oder?
\quoteoff
Nein, das hast du falsch verstanden. Die Urbildmengen kennst du doch schon. Die erwähnte vertikale Gerade ließe sich bspw. folgendermaßen notieren:
\[U_1=\lbrace 1+i\cdot t\ |\ t\in\IR\rbrace\]
Quadriere das mal und sortiere anschließend wieder nach Real- und Imaginärteil...
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von Diophant]\(\endgroup\)
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cphysik
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-05
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Hallo,
also quadriert
\((1+it)^2 = 1 + 2it - t^2\) davon \(Re((1+it)^2) = 1-t^2\) und \(Im((1+it)^2 = 2t\). Ahh und hier kann ich dann \(Re(z) = 1\) einsetzten und bekomme
\(1 = 1-t^2 \rightarrow t = 0\)
Dann kann man ja die Zweite Menge parametrisieren mit
\(U_2 = \{ t + i| t \in \mathbb{R}\}\), dann kann ich ja wieder quadrieren usw. oder ?
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AlphaSigma
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-05
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\quoteon(2021-10-05 19:14 - cphysik in Beitrag No. 4)
Hallo AlphaSigma,
danke für die Antwort, also würde es nicht die Vertikale sein, sondern der Kreis, wobei der Radius 1 ist?
LG
cphysik
\quoteoff
Hallo cphysik,
das Beispiel zeigt, dass für f(z) = exp(z) vertikale Linien der Urbildmenge auf Kreise in der Bildmenge und horizontale Linien auf Ursprungsgeraden in der Bildmenge abgebildet werden. Du sollst für den Fall f(z) = $z^2$ skizieren worauf die vertikale Linie x = 1 und die horizontale Linie y = 1 der Urbildmenge abgebildet werden.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
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\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-10-05 19:36 - cphysik in Beitrag No. 6)
also quadriert
\((1+it)^2 = 1 + 2it - t^2\) davon \(Re((1+it)^2) = 1-t^2\) und \(Im((1+it)^2 = 2t\). Ahh und hier kann ich dann \(Re(z) = 1\) einsetzten und bekomme
\(1 = 1-t^2 \rightarrow t = 0\)
\quoteoff
Zu was soll denn der letzte Schritt gut sein?
Die Bildmenge wird einfach beschrieben durch \(\on{Re}(z)=1-t^2\wedge \on{Im}(z)=2t\) mit \(t\in\IR\).
Und jetzt könntest du wie gesagt - ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen im \(\IR^2\) - den Parameter \(t\) wieder eliminieren und die Menge in Form einer Gleichung als Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil ausdrücken. Hier am besten, indem du den Realteil als Funktion des Imaginärteils auffasst. Daran kann man dann gut ablesen, um was für eine Kurve es sich handelt (ok, das kann man in der parametrisierten Form hier auch schon gut sehen).
\quoteon(2021-10-05 19:36 - cphysik in Beitrag No. 6)
Dann kann man ja die Zweite Menge parametrisieren mit
\(U_2 = \{ t + i| t \in \mathbb{R}\}\), dann kann ich ja wieder quadrieren usw. oder ?
\quoteoff
Hier gehst du analog vor, genau.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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cphysik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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