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| Autor |
  σ-Algebra |
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Fluadl
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2021-10-08
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Guten Tag!
Mir sei folgende Aufgabe gegeben:
Sei $X = {\dot{\bigcup}}_{n>=0}\,E_n$ eine disjunkte Vereinigung von Mengen $E_n$. Bestimmen Sie ${\sigma}({\mathcal{E}})$ für ${\mathcal{E}} = \{E_n\,|\, n {\in} \mathbb{N} \}$.
Ich weiß nun, dass eine ${\sigma}$ -Algebra $A$ folgende Eigenschaften erfüllen muss:
1. $X\,{\in}\,A$
2. Für alle $E\,{\in}\,A$ ist $E^\mathrm{C}\,{\in}\,A$
3. Für jede Folge $(E_n)_{n>=0}$ in $A$ liegt ${\bigcup}_{n>=0}\,E_n$ in $A$
Aus 1. weiß ich schon mal, dass X bzw. ${\dot{\bigcup}}_{n>=0}\,E_n$ enthalten sein muss. Weiters müssen alle Elemente aus ${\mathcal{E}}$, also $\{E_1,E_2,...,E_n\}$ enthalten sein und laut 2. deshalb auch ${\mathcal{E}}^\mathrm{C}$. Drittens sei jedoch bereits erfüllt, da X ja bereits die disjunkte Vereinigung aller $E_n$ ist. Nun fehlt nur noch das Komplement von X, also $(\dot{\bigcup}_{n>=0}\,E_n)^C\,=\,\dot{\bigcap}_{n>=0}\,E_n^C$. Deshalb glaube ich, dass ${\sigma}({\mathcal{E}})$ folgend gegeben ist:
${\sigma}({\mathcal{E}})\,=\,\{\emptyset,{\dot{\bigcup}}_{n>=0}\,E_n,E_1,...,E_n,E_1^C,...,E_n^C,\dot{\bigcap}_{n>=0}\,E_n^C\}\, , n\in\mathbb{N}$
Ich bin mir hierbei jedoch nicht ganz sicher ob ich das richtig angegangen bin und ob nicht irgendwas in ${\sigma}({\mathcal{E}})$ fehlt. Ich würde mich sehr über Korrektur bzw. Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-09
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Hallo Fluadl,
die Menge \(E_1 \cup E_2\) liegt ebenfalls in \({\sigma}({\mathcal{E}})\). Das ist Eigenschaft 3 für die Folge \(E_1, E_2, E_2, E_2, E_2, E_2, ...\). Deshalb müsste in Eigenschaft 3 statt \(E_n\) besser \(E_{i_n}\) stehen, damit auch jede mögliche Folge erreicht wird und nicht nur \(E_1, E_2, E_3, E_4, E_5,...\).
Viele Grüße,
Stefan
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Fluadl
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Hallo StefanVogel!
Ah okay, da hab ich anscheinend Eigenschaft 3. zuerst nicht ganz verstanden. Jetzt weiß ich leider nur noch nicht ganz wie ich die Folge aller Vereinigungen in kompakter/mathematischer Schreibweise in ${\sigma}({\mathcal{E}})$ schreibe. Ich schätze mal, dass ich, wie du schon sagtest, $E_{i_{n}}$ miteinbeziehen muss. Jedoch weiß ich nicht ganz wie.
MfG Fluadl
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-09
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Die \(i_n\) sind Elemente einer gewissen Indexmenge \(I\) und dieses \(I\) ist Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen.
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Fluadl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Fluadl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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