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 Wie kommt man auf die obere und untere Grenze? |
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Chinqi
Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 488
 |  Themenstart: 2021-10-09
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Aufgabe: Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt. Der Kanal ist 8m breit und besitzt eine maximale Tiefe von 2m. Der Querschnitt des Kanals kann näherungsweise als parabelförmig angenommen werden.
a) Ermittlen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Querschnittsfläche des Kanals.
Also mein Ansatz: f(x) = ax² + c
0 = 16a - 2
a = 1/8
f(x) = 1/8x² - 2
Flächeninhalt von Rechteck = a * b
Flächeninhalt Funktion = ∫f(x) dx (untere Grenze -4 & obere Grenze 4)
A = A-Rechteck - A-Flächeninhalt
= 16 - 32/3
A = 5,3 m²
In den Lösungen steht aber, dass der Flächeninhalt 10,6m² beträgt
Warum?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-09
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Hallo,
ganz einfach: deine Parabel ist achsensymmetrisch zum Ursprung angenommen und der Kanal ist 8m breit.
Fertige eine Skizze an, wenn dir das nicht klar ersichtlich ist.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]
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Chinqi
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 488
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Stimmt, vielen Dank.
Ich habe ja geschrieben: "Mein Ansatz: f(x) = a * x² ; f(4) = a * 16 = 2 --> x = 4, weil der Querschnitt ja beschrieben wurde, also 8/2 = 4. und y = 2, weil die maximale Tiefe 2m beträgt."
Also irgendwie macht das mit dem Querschnitt kein Sinn, dass x = 4 sein muss oder?
Kannst du mir bitte erklären, warum man f(4) nehmen muss?
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LineareAlgebruh
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 25.10.2019
Mitteilungen: 108
Wohnort: Bonn
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-09
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52110_IMG_0180.jpg
Die orangene Fläche möchtest du ausrechnen. Dazu betrachtest du erstmal das Rechteck der Größe 8*2, und ziehst dann die Fläche zwischen Graphen und x-Achse ab, diese bestimmt man durch das Integral über deine Parabel mit Grenzen -4 und +4
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Chinqi
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 488
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-09
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Danke schön,
könntest du die oben gestellte 2. Frage von mir noch beantworten? Wäre sehr nett!
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2960
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-10
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Hallo
Du musst a=1/8 in die Funktion einsetzen. Dann setze f(x)=2 und du erhälst die Grenzen.
Gruß Caban
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Chinqi
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 488
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-10
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Und woher weiß ich, dass ich 1/8 verwenden muss?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-10
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Hallo
a=0.125 hst du doch schon selbst ermittelt.
Gruß Caban
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Chinqi
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 488
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-10
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Ja, weil ich x = 4 gesetzt habe und dann umgeformt habe.
Aber warum muss ich denn jetzt x = 4 setzen?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-10
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Hallo
Der Kanal geht von -4 bis +4, deswegen ist die oberste Grenze 4 und die unterate -4.
Gruß Caban
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo Chinqi,
\quoteon(2021-10-10 00:45 - Chinqi in Beitrag No. 8)
Aber warum muss ich denn jetzt x = 4 setzen?
\quoteoff
müssen tut man bei solchen Aufgaben überhaupt nichts. Die einzige Vorgabe ist ja die, dass der Kanalquerschnitt parabelförmig sein muss bei einer angenommenen Breite von 8m und einer angenommenen Tiefe von 2m.
Da steht also insbesondere nicht das geringste darüber, wie diese Parabel im Koordinatensystem liegen soll. Und dass da nichts steht ist volle Absicht: du bist hier gefragt, du sollst den Sachverhalt modellieren. Dieses Modellieren besteht bei solchen Aufgaben zu einem wesentlichen Teil darin, ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen. Die Wahl des Koordinatensystems ist also hier Teil der Aufgabenstellung und du bist prinzipiell frei darin, wie du das machst.
Durch deine Wahl der Parabel \(f(x)=ax^2\) allerdings hast du diese Wahl unweigerlich getroffen: und zwar so, dass der Koordinatenursprung im tiefsten Punkt des Kanals liegt und der Querschnitt somit achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Und: diese Wahl des Koordinatensystems ist hier höchst sinnvoll, man muss sich eben nur klarmachen, dass man sie durch die Auswahl der Modellfunktion selbst trifft.
Da der Kanal aber 8m breit und 2m tief ist sind jetzt zwei Dinge unmittelbar klar: die Ränder des Kanals liegen bei \(x=-4\) und \(x=4\) und die gedachte Wasseroberfläche liegt auf der waagerechten Geraden \(y=2\).
Eben so, wie es LineareAlgebruh in Beitrag #3 dargestellt hat.
Und das sollte dann auch deine Frage beantworten, warum du mit dem Ansatz \(f(4)=2\) den Parameter \(a=1/8\) bestimmen kannst. Weil du eben durch die Wahl deiner Modellfunktion weißt, dass \(f(4)=2\) gelten muss: du selbst hast es doch so festgelegt.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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