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Analysis » Funktionalanalysis » Beweis: Folgenraum ein Banachraum
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Universität/Hochschule Beweis: Folgenraum ein Banachraum
Bayes2021
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  Themenstart: 2021-10-13

Hallo zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe und wäre dankbar für ein paar Denkanstößte. Sei $\alpha=\left(\alpha_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset(0, \infty)$ und sei $1 \leq p<\infty$. Wir betrachten die Vektorräume $$ \begin{array}{c} \ell_{\alpha, p}(\mathbb{N}):=\left\{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}: \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}\left|x_{n}\right|^{p}<\infty\right\} \\ \ell_{\alpha, \infty}(\mathbb{N}):=\left\{x=\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}: \sup _{n \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{n}\left|x_{n}\right|\right)<\infty\right\} \end{array} $$ Ferner setze $$ \|x\|_{\alpha, p}:=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \quad \text { für } x \in \ell_{\alpha, p}(\mathbb{N}) $$ und $$ \|x\|_{\infty, \alpha}:=\sup _{n \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{n}\left|x_{n}\right|\right) \quad \text { für } x \in \ell_{\alpha, \infty}(\mathbb{N}) $$ (a) Zeigen Sie, dass $\left(\ell_{\alpha, p}(\mathbb{N}),\|\cdot\|_{\alpha, p}\right)$ für $p \in[1, \infty]$ Banachraum ist. (b) Sei $c_{0, \alpha}(\mathbb{N}):=\left\{\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}: \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} x_{n}=0\right\} .$ Zeigen Sie, dass $\left(c_{0, \alpha}(\mathbb{N}),\|\cdot\|_{\alpha, \infty}\right)$ ein Banachraum ist. Meine bisherigen Überlegungen lauten wie folgt: Zuerst wollte ich zeigen dass $\ell_{\alpha, \infty}(\mathbb{N})$ ein Banachraum bzgl. $\|x\|_{\infty, \alpha}$ ist. Für die übrigen Vektorräume hätte ich dann versucht zu zeigen, dass diese abgeschlossene Unterräume sind und somit auch Banachräume bzgl. $\|x\|_{\infty, \alpha}$. Im letzten Schritt hätte ich dann noch die Äquivalenz der Normen zeigen müssen und wäre fertig. Leider scheitere ich schon im ersten Schritt am Beweis für $\ell_{\alpha, \infty}(\mathbb{N})$. Dazu habe ich angenommen, dass $(x^{(n)})_{n\in\mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge in $\ell_{\alpha, \infty}(\mathbb{N})$ ist, dass es also zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_{0}\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\|x^{(n)}-x^{(m)} \|_{\infty, \alpha}= \sup _{k \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{k}\left|x^{(n)}_{k}-x^{(m)}_{k}\right|\right) \leq \varepsilon$ für alle $m,n\geq n_{0}$ gilt. Unter der Annahme, dass $\alpha_{k}\geq 1$ für alle $k$ kann ich folgende Abschätzung treffen: $$ \vert x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}\vert \leq \sup _{k \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{k}\left|x^{(n)}_{k}-x^{(m)}_{k}\right|\right) \leq \varepsilon$$ so dass $(x_{k}^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge in $\mathbb{R}$ und somit konvergent ist. Diese Annahme bzgl. ${\alpha_k}$ kann ich aber ja nicht treffen und auch für eine Fallunterscheidung habe ich keine Idee wie ich dann weiter komme. Viele Grüße


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Bayes2021, Die Normen sind nicht äquivalent. Versuche zunächst, die Behauptungen für \(\alpha_n=1\) zu zeigen. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)


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Bayes2021
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-13

Hallo Wally, danke für deine Antwort. Meinst du $\alpha_{n}=1$ für alle $n \in \mathbb{N}$? Das wären ja dann die Beweise für $\ell_{\alpha,\infty}(\mathbb{N})=\ell^{\infty}(\mathbb{N})$ bzw. $\ell_{\alpha,p}(\mathbb{N})=\ell^{p}(\mathbb{N})$. Dies diese Banachräume sind haben wir im Skript bewiesen. Ich sehe leider nicht wie mich das weiter bringt. Viele Grüße Bayes2021


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, der Wert der \(\alpha_k\) ist doch völlig egal, Hauptsache die Komponentendifferenzen sind Nullfolgen. Denk doch mal für \(\alpha_k=\frac12\). Dann gibt es doch auch einen Grenzwert. Im Wesentlichen musst du nur den Beweis im Skript abschreiben. Viele Grüße Wally\(\endgroup\)


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Bayes2021
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-14

Hallo, ich glaube jetzt habe ich es. Das $\alpha_{k}$ hat mich irgendwie irritiert. Die Beweise für $1\leq p < \infty$ habe ich jetzt komplett analog zum Beweis für $\ell^{p}(\mathbb{N})$ aufgezogen. Für $p=\infty$ könnte ich jetzt auch ähnlich vorgehen, hatte aber noch eine andere Idee (die auch für alle anderen $p$ funktionieren sollte). Wenn $\left(x^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchyfolge in $\ell_{\alpha,\infty}(\mathbb{N})$ ist, dann ist $y^{n}:=\alpha x^{n}$ mit $y_{k}^{n}:=\alpha_{k}x_{k}^{n}$ eine Cauchyfolge in $\ell^{\infty}$. Da dies ein Banachraum ist, konvergiert $y^{n}$ (sei $y := \lim_{n \to \infty} y^{n}$ der Grenzwert). Sei $x := \frac{y}{\alpha}$, mit $x_{k} := \frac{y_{k}}{\alpha_{k}}$. Die Konvergenz in $\ell^{\infty}$ impliziert dann: 1. $\infty > \vert\vert y \vert\vert_{\infty}=\sup_{k \in \mathbb{N}}\left(y_{k}\right)=\sup_{k \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{k}x_{k}\right)=\vert\vert x \vert\vert_{\alpha_{k}\infty}$ 2. $\vert\vert x-x^{n}\vert\vert_{\alpha,\infty}=\sup_{k \in \mathbb{N}}\left(\alpha_{k}\vert x_{k} -x_{k}^{n} \vert\right) = \sup_{k \in \mathbb{N}}\left(\vert y_{k} -y_{k}^{n} \vert\right) = \vert\vert y-y^{n} \vert\vert_{\infty} \to 0$ Somit konvergiert die Cauchyfolge $\left(x^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ und $\ell_{\alpha,\infty}$ ist ein Banchraum. Viele Grüße Bayes2021


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