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  Lemma von Schwarz |
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nitram999
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 |  Themenstart: 2021-10-14
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Hallo, ich habe zu folgender Beweise/Widerlege-Aufgabe eine Frage:
Sei f:\ID ->\ID holomorph mit abs(f'(0))=1, dann gilt f(0)=0
Meiner Meinung nach kann diese Aussage nicht stimmen, denn es sind hier nur teilweise die Voraussetzungen des Lemmas von Schwarz erfüllt. Daher muss man wahrscheinlich ein Gegenbeispiel finden, wobei ich mir schwer tue.
Vielleicht kann mir dabei jemand helfen?
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Gestath
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-15
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Hallo Nitram999,
wahrscheinlich geht es darum, erstmal genug Kandidaten zu finden, die D in D abbilden. Da mag folgender Link hilfreich sein:
https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Einheitskreisscheibe
MfG
Gestath
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nitram999
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15
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Danke für die Antwort Gestath,
die Automorphismengruppe des Einheitskreises liefert ja Kandidaten.
Aut(\ID)={f:\ID -> \ID und f(z)=\zeta*(z-a)/(1-âz) mit abs(\zeta)=1 und abs(a)<1} wobei â das komplex konjugierte zu a\el\IC ist.
Ich habe mir nun überlegt, allgemein von einer Funktion f aus dieser Automorphismengruppe die Ableitung zu bestimmen mittels Quotientenregel. Und dann diese Ableitung f' im Punkt 0 zu betrachten, denn nach Voraussetzung soll ja |f'(0)|=1 gelten.
Nun hat sich folgendes ergeben:
abs(f'(0))=abs(\zeta + \zeta*a*â) mit abs(\zeta)=1 und abs(a)<1
Meiner Meinung nach müsste a=0 gelten (stimmt das?), damit |f'(0)|=1 erfüllt werden kann. Und wenn a=0 ist, ist f(z)=z*\zeta und damit wäre f(0)=0 doch erfüllt und die Aussage bewiesen. Stimmt meine Überlegung?
Die Frage ist auch, ob Aut(D) alle möglichen Kandidaten liefert? Weil wenn es noch weitere gäbe, dann wäre der Beweis noch nicht gültig und unvollständig.
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Gestath
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-15
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das Dumme ist, dass mit a=0 auch f(0)=0 ist
dann musst du wohl zwei Funktionen aus Aut(D) multiplizieren und mal gucken, was da rauskommt.
oder du guckst gleich hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Schwarz-Pick
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nitram999
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15
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Oh an das Lemma von Schwarz und Pick habe ich gar nicht gedacht, danke!
Das heißt die obige Aussage stimmt ja doch, oder?
Nach dem Lemma von Schwarz und Pick gilt für f:
abs(f'(0))<=(1-abs(f(0))^2)/(1-abs(0)^2)=1-abs(f(0))^2
Da nach Voraussetzung abs(f'(0))=1 ist, gilt: 1<=1-abs(f(0))^2
=> abs(f(0))^2 <= 0 => abs(f(0)) <= 0
=> abs(f(0)) = 0
=> f(0)=0
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Gestath
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-15
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Ja, die Aussage stimmt.
Man kann sich das auch ohne das Lemma von Schwarz-Pick klarmachen (nur mit dem Lemma von Schwarz) durch Betrachten der Funktion
g(z)=(f(z)-f(0))/(1-f(0)^-*f(z))
Der Sonderfall
abs(f(0))=1
ist leicht und wäre noch gesondert zu betrachten.
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nitram999
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-15
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Ah okay danke Gestath!
Stimmt, denn das Lemma von Schwarz ist auf dein g anwendbar, da g(0)=0 ist und g auch eine holomorphe Funktion von D nach D ist. Dann ist |g(z)|<=|z| für alle z in D und |g'(0)|<=1
Wie kann man jetzt aber darauf schließen, dass f(0)=0 ist?
Und was meinst du mit dem Sonderfall?
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Gestath
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-16
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\quoteon
Wie kann man jetzt aber darauf schließen, dass f(0)=0 ist?
\quoteoff
Indem du g'(z) mal ausrechnest und dir die Konsequenzen von abs(g'(0))<=1 überlegst.
\quoteon
Und was meinst du mit dem Sonderfall?
\quoteoff
Im Falle
abs(f(0))=1
wäre g nicht wohldefiniert (Division durch 0)
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nitram999
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Danke für die Antwort Gestath!
Also g'(z)=f'(z)*(1-f(0)^- *f(0))
Dann gilt für den Betrag im Nullpunkt:
abs(g'(0))=abs(f'(0))*abs((1-f(0)^- *f(0))) <=1
Mit der Voraussetzung ergibt sich:
abs(g'(0))=1*abs((1-f(0)^- *f(0)))<= abs(1)+abs(f(0)^- *f(0))<=1
=>f(0)=0
Stimmt das so?
Beim Sonderfall weiß ich nicht genau, wie man den behandelt. Der kommt doch gar nicht zustande oder? Weil f ja nur nach D abbildet.
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Gestath
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-16
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die erste Zeile mit der Ableitung von g stimmt nicht.
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nitram999
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Oh du hast recht
Also g'(z)=f'(z)/(1-f(0)^- *f(0))
Dann gilt für den Betrag im Nullpunkt:
abs(g'(0))=abs(f'(0))/abs((1-f(0)^- *f(0))) <=1
Mit der Voraussetzung ergibt sich:
abs(g'(0))=1/abs((1-f(0)^- *f(0)))<=1
=> abs((1-f(0)^- *f(0)))>=1
Kann man aus der letzten Zeile f(0)=0 folgern?
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nitram999
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Wahrscheinlich kann man schon f(0)=0 folgern, weil mit der Dreiecksungleichung gilt ja auch:
abs(1-f(0)^- *f(0))<=abs(1)+abs(f(0)^- *f(0))<=1
Also folgt:
1>=abs(1-f(0)^- *f(0))<=1
=>abs(1-f(0)^- *f(0))=1
=>f(0)=0
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Gestath
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-16
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g'(z) ist immer noch falsch.
die 2. Zeile liefert alles, was du brauchst.
am besten beweist du die Kontraposition.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kontraposition
das galt Beitrag 10
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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nitram999
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Ah Mist, ich hab die ganze Zeit gedacht im Nenner von g(z) steht nichts, was von z abhängt.
Aber so wird die Ableitung ja sehr groß, da kann man ja beim Einsetzen von |f'(0)|=1 nichts sehen und schlecht Abschätzungen machen. Wie funktioniert das dann?
Was meinst du mit Zeile 2?
Und wovon die Kontraposition?
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Gestath
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-16
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\quoteon(2021-10-16 13:25 - nitram999 in Beitrag No. 13)
Ah Mist, ich hab die ganze Zeit gedacht im Nenner von g(z) steht nichts, was von z abhängt.
Aber so wird die Ableitung ja sehr groß, da kann man ja beim Einsetzen von |f'(0)|=1 nichts sehen und schlecht Abschätzungen machen. Wie funktioniert das dann?
Was meinst du mit Zeile 2?
Und wovon die Kontraposition?
\quoteoff
rechne einfach los und setze dann 0 ein
Mit Kontraposition meine ich die die Kontraposition der Behauptung:
Sei f:\ID ->\ID holomorph mit abs(f'(0))=1, dann gilt f(0)=0
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nitram999
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Also die Ableitung ist g'(z)=(-f'(z))/(1-f(0)^- *f(z))^2
Dann gilt für g'(0)=(-f'(0))/(1-f(0)^- *f(0))^2
Mit dem Lemma von Schwarz gilt abs(g'(0))<=1 und nach Voraussetzung gilt abs(f'(0))=1.
Das heißt, man erhält
abs(g'(0))=abs(-f'(0))/abs((1-f(0)^- *f(0))^2)=1/abs((1-f(0)^- *f(0))^2)<=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0))^2)>=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0)))^2>=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0)))>=1
=>abs(1-abs(f(0))^2)>=1
=>abs(f(0))=0
=>f(0)=0
Habs jetzt ohne Kontraposition gemacht.
Stimmt das jetzt so?
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Gestath
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| Beitrag No.16, eingetragen 2021-10-16
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ich hab jetzt nicht nachgerechnet, ob g'(z) so richtig ist. Vorgerechnet hast du es ja nicht
Unten sind noch kleinere Fehler drin.
Von der Idee her scheint die Schlussweise i.O.
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nitram999
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Danke für die Antwort Gestath!
Ja die Ableitung sollte so stimmen jetzt ^^
Aber welche kleinen Fehler meinst du? Ich sehe keinen nach mehrfacher Kontrolle.
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Gestath
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| Beitrag No.18, eingetragen 2021-10-16
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das Quadratzeichen ist in die Klammer bzw. in den Betrag gerutscht.
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nitram999
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Aber für eine komplexe Zahl z\el\ \IC gilt doch:
abs(z)=sqrt(z*z^-) => abs(z)^2=z*z^-
Also das ist ein neues Quadrat und diesen Schritt habe ich gemacht, um mir klarer zu machen, dass |f(0)|=0 sein muss.
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| Beitrag No.20, eingetragen 2021-10-16
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\quoteon(2021-10-16 17:14 - nitram999 in Beitrag No. 15)
Also die Ableitung ist g'(z)=(-f'(z))/(1-f(0)^- *f(z))^2
Dann gilt für g'(0)=(-f'(0))/(1-f(0)^- *f(0))^2
Mit dem Lemma von Schwarz gilt abs(g'(0))<=1 und nach Voraussetzung gilt abs(f'(0))=1.
Das heißt, man erhält
abs(g'(0))=abs(-f'(0))/abs((1-f(0)^- *f(0))^2)=1/abs((1-f(0)^- *f(0))^2)<=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0))^2)>=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0)))^2>=1
=>abs((1-f(0)^- *f(0)))>=1
=>abs(1-abs(f(0))^2)>=1
=>abs(f(0))=0
=>f(0)=0
Habs jetzt ohne Kontraposition gemacht.
Stimmt das jetzt so?
\quoteoff
in Zeile 2 ist es noch richtig, in Zeile 3 und 4 aber falsch.
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nitram999
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Aber da gilt ja auch:
abs(z^2)=abs(z)^2 für z\el\ \IC
Und in Zeile 4 wurde dann die Wurzel auf beiden Seiten gezogen.
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| Beitrag No.22, eingetragen 2021-10-17
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es gilt nicht:
abs((1-f(0)^- *f(0))^2)=abs((1-f(0)^- *f(0)))^2
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nitram999
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| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17
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Warum? Das würde ja dem allgemeingültigen Satz aus Beitrag 21 widersprechen.
Siehe auch hier im Abschnitt ‚Betrag des Quadrats‘:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Betragsquadrat
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Gestath
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| Beitrag No.24, eingetragen 2021-10-17
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ja, du hast recht. Ich hab die Klammerung übersehen.
Ich stell dann noch mal meine Rechnung für g'(0) zur Diskussion:
g(z)=(f(z)-f(0))/(1-f(0)^-*f(z))=(f(z)-f(0))*(1/(1-f(0)^-*f(z)))
ich wende die Multiplikationsregel für die Ableitung an
g'(z)=f'(z)/(1-f(0)^-*f(z)) + (f(z)-f(0))*(1/(1-f(0)^-*f(z)))'
also g'(0)=f'(0)/(1-f(0)^-*f(0))
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nitram999
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| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-17
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Okay, ja ich rechne es jetzt nicht nochmal nach, aber auch wenn deine Ableitung stimmt, kann man damit ja genauso weitermachen wie weiter oben gezeigt. Es sieht eigentlich richtig aus, vielleicht hatte ich ja doch noch einen Fehler drin.
Das heißt damit wäre die Aufgabe ja fertig gelöst.
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nitram999
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18
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Noch eine Frage: Warum bildet die Funktion g nur in den Einheitskreis ab?
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