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| Autor |
  Beispiele zur Berechnung des E-Feld bei nicht-konstanten Ladungsdichte gesucht |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-10-15
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Hallo,
für kontinuierliche Ladungsverteilungen gibt es ja zur Berechnung des E-Felds die folgenden Formeln, je nachdem, ob eine Linienladungsdichte \(\lambda\), eine Flächenladungsdichte \(\sigma\) oder eine Raumladungsdichte \(\rho\) vorliegt:
\[\vec{E}(\vec{R}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_L \frac{\vec{R} - \vec{r}}{\left | \vec{R} - \vec{r} \right |^3} \lambda(\vec{r}) dl\]
\[\vec{E}(\vec{R}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_A \frac{\vec{R} - \vec{r}}{\left | \vec{R} - \vec{r} \right |^3} \sigma(\vec{r}) da\]
\[\vec{E}(\vec{R}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \frac{\vec{R} - \vec{r}}{\left | \vec{R} - \vec{r} \right |^3} \rho(\vec{r}) dv\]
Ich habe lediglich ein Beispiel zu einer konstanten Linienladungsdichte gefunden, so dass diese dann vor das Integral gezogen werden konnte. Nun würde ich gerne anhand weiterer Beispiele nachvollziehen, wie solche Integrale zu berechnen sind, wenn die Ladungsdichte nicht konstant ist.
Ich würde mich freuen, falls jemand zu den verschiedenen Fällen Beipspiele hätte, an denen ich das mal üben könnte.
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jacha2
Senior 
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1218
Wohnort: Namur
|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-16
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Salut,
die Ladungsverteilungsintegrale sollten
\[\vec{E}(\vec{R}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_L \frac{\vec{R} - \vec{r}}{\left | \vec{R} - \vec{r} \right |^3} \lambda(\vec{r}) dl\]
usw. lauten, da über die Dichten am Ort \(\vec{r}\) integriert wird.
Warum versuchst Du nicht Dir selber eine Ladungsverteilungsfunktion wie z.B
\(\lambda(\vec{r})=\lambda_0 z^n\) für \(0
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18
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Hallo jacha2,
\quoteon(2021-10-16 23:49 - jacha2 in Beitrag No. 1)
Salut,
die Ladungsverteilungsintegrale sollten
\[\vec{E}(\vec{R}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_L \frac{\vec{R} - \vec{r}}{\left | \vec{R} - \vec{r} \right |^3} \lambda(\vec{r}) dl\]
usw. lauten, da über die Dichten am Ort \(\vec{r}\) integriert wird.
\quoteoff
du hast natürlich Recht. Ich ändere das in dem Beitrag ab.
\quoteon(2021-10-16 23:49 - jacha2 in Beitrag No. 1)
Warum versuchst Du nicht Dir selber eine Ladungsverteilungsfunktion wie z.B
\(\lambda(\vec{r})=\lambda_0 z^n\) für \(0
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jacha2
Senior
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1218
Wohnort: Namur
|  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-20
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Salut,
Sofern mit \((0|x)\) ein Punkt irgendwo auf der x-Achse gemeint ist, ...
\quoteon(2021-10-18 21:49 - Lux93 in Beitrag No. 2)...
Ich bin deinem Vorschlag mal gefolgt und habe mir für die erste Formel die Ladungsverteilung \(\lambda(\vec{r})=\begin{cases} \lambda_0 \cdot z^2,~0 < z < L,~x=y=0 \\ 0,~\text{sonst} \end{cases}\) überlegt. Ich möchte \(\vec{E}\) im Punkt \((0|x)\) bestimmen.
Für das elektrische Feld am Ort \(\vec{R}\) erhalte ich dann:
\[\vec{E}(\vec{R})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int\limits_0^L \frac{x \cdot \vec{e}_x - z \cdot \vec{e}_z}{(\sqrt{x^2+z^2})^3} \cdot \lambda_0 \cdot z^2 dz\]
Wäre das soweit richtig? Mir geht es hier nicht unbedingt darum, explizit das Integral zu lösen, sondern nachzuvollziehen, was anders ist, wenn die Ladungsverteilung nicht konstant ist.
\quoteoff
...ja. Wie Du selbst weiter unten ausführst, wird die Berechnung des E-Felds dann zusätzliche Integrationen erfordern, wenn die Liniendichte selbst von mehreren Koordinaten abhängt. Wir haben hier absichtlich eine nur von der z-Koordinate abhängige Linienladungsverteilung angenommen und erhalten dann für jede der drei E-Feld-Komponenten eines dieser Integrale, die Du für unser Beispiel richtig zusammengefaßt hast.
Der Spaß fängt an, sobald die Linie ("Kurve") so im Raume verläuft, daß keine einzelne Koordinatentransformation das Linienintegral in ein bestimmtes Riemann-Integral überführt. Dann geht man zu abschnittsweiser Definition über und addiert die jeweiligen Integrale.
Für Flächen- aber vor allem für Raumladungsdichten richtet sich der 'Zusammenbau' von Integralen danach, ob man über "sternförmige" (ich glaube, so nennen die Mathematiker das), über einfach zusammenhängende Gebiete integriert oder man abschnittsweise, womöglich mit jeweils angepaßten Koordinatenachsen oder gar -systemen integriert, also welche Formen und Arten von Gebietsbegrenzungen die Linien-/Oberflächen-/Volumendichten aufweisen.
\quoteon(2021-10-18 21:49 - Lux93 in Beitrag No. 2)...
Bei den anderen beiden Formeln ist mir aufgefallen, dass ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich diese grundsätzlich richtig interpretiere. Nach meinem Verständnis ist es bei der ersten Formel ja so, dass ich hier komponentenweise, da ein Vektor integriert wird, 3-mal ein ,,gewöhnliches'' Riemann-Integral berechne.
Ist es bei der zweiten Formel dann analog so, dass hier komponentenweise drei skalare Oberflächenintegrale und bei der dritten Formel komponentenweise 3 Volumenintegrale berechnet werden müssen?
\quoteoff Genau. Es wird beliebig aufwendig, wenn die Linienintegrale nicht aus geraden Stücken bestehen, sondern sich als Kurven im Raume schlängeln. die Oberflächenintegrale keine Ebenenabschnitte und die Volumenintegrale keine schlichten Körper (Polyeder oder Ellipsoïde sind, sondern als irgendwie gewölbte Gebilde daherkommen: Dann stehen Bataillen mit den Randbedingungen an, weil die Parametrierung und die Koordinatenachsen zusammenpassen müssen.
\quoteon(2021-10-18 21:49 - Lux93 in Beitrag No. 2)...
Und wenn die Ladungsdichten nicht mehr konstant sind, ändert sich an dieser Vorgehensweise grundsätzlich nichts, sondern es tritt nur ein weiterer Faktor mit bereits vorkommenden Variablen auf?
\quoteoff ...Das hatten wir in unserem Einstiegsbeispiel bereits in der von Dir gewählten Ausprägung behandelt. Der zweite Vektor im Zähler des Integrals hat eine mit dem Abstand vom Ursprung quadratisch wachsende Länge.
\quoteon(2021-10-18 21:49 - Lux93 in Beitrag No. 2)...
Wegen der beschriebenen Unsicherheiten habe ich mir als nächstes zuerst mal ein Beispiel mit konstanter Flächenladungsdichte rausgesucht, bei dem ich \(\vec{E}\) auf anderem Wege bereits bestimmen kann:
Betrachtet wird eine runde, flache Scheibe mit dem Radius \(R\) und der Flächenladungsdichte \(\rho\). Gesucht ist die elektrische Feldstärke am Ort \(P\) auf der Scheibenachse mit dem Abstand z vom Mittelpunkt der Scheibe. Ich versuche nun, mit der zweiten Formel auf das Ergebnis \(\frac{\rho}{2 \epsilon_0} (1- \frac{z}{(z^2+R^2)^{0,5}} )\)
Ich würde hier Zylinder- bzw. Polarkoordinaten wählen und \(\vec{R}=z \cdot \vec{e}_z\) setzen. Welche Form das Flächenelement hat, ist mir auch klar und die Integrationsgrenzen laufen für \(r\) von 0 bis \(R\) und für \(\varphi\) von 0 bis \(2 \pi\). Mir ist allerdings nicht klar, wie ich die kreisförmige Fläche durch Vektoren beschreiben kann; sprich, wie ich an \(\vec{r}\) komme.
\quoteoff D'accord.
Das zyl. Orthonormalsystem wird aus dem Tripel \(\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_z\) aufgebaut, so daß Ortsvektoren \(\vec{r}\) in der Kreisscheibe als \(\vec{r}= r\vec{e}_r + \phi\vec{e}_\varphi\) in den von Dir genannten Grenzen liegen.
Zwecks der Détails der Funktionalmatrizen (also die jeweilige Form der Jacobi-Determinanten) empfiehlt sich eines der Werke zur Vektoranalysis, in denen Methoden der Transformation und Parametrierung vorgestellt werden, z.B. D.E. Bourne, P.C. Kendall: "Vector Analysis", Oldbourne Book Co. Ltd. London (1967).
Adieu
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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\quoteon(2021-10-20 23:07 - jacha2 in Beitrag No. 3)
Das zyl. Orthonormalsystem wird aus dem Tripel \(\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_z\) aufgebaut, so daß Ortsvektoren \(\vec{r}\) in der Kreisscheibe als \(\vec{r}= r\vec{e}_r + \phi\vec{e}_\varphi\) in den von Dir genannten Grenzen liegen.
\quoteoff
Wenn ich für diesen Fall die Rechnung mal durchführe, erhalte ich das folgende Ergebnis, das leider vom richtigen Ergebnis abweicht:
\[\frac{\sigma}{4 \pi \epsilon_0} \int\limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^R \frac{z \cdot \vec{e}_z - r\cdot\vec{e}_r - \varphi \cdot \vec{e}_\varphi}{\left(\sqrt{z^2+r^2+\varphi^2}\right)^3} r dr d\varphi \\ = \frac{\sigma}{4 \pi \epsilon_0}\left[z \cdot \underbrace{ \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^R \frac{r}{\left( \sqrt{z^2+r^2+\varphi^2} \right)^3} dr d\varphi}_{:= I_1} \cdot \vec{e}_z - \underbrace{ \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^R \frac{r^2}{\left( \sqrt{z^2+r^2+\varphi^2} \right)^3} dr d\varphi}_{:= I_2} \cdot \vec{e}_r \\ - \underbrace{ \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^R \frac{r \cdot \varphi}{\left( \sqrt{z^2+r^2+\varphi^2} \right)^3} dr d\varphi}_{:= I_3} \cdot \vec{e}_\varphi \right]\]
Für die Integrale erhalte ich:
\[I_1 = arsinh\left(\frac{2 \pi}{z}\right) - arsinh\left(\frac{2 \pi}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)\]
\[I_2=-z \cdot \arctan\left(\frac{2 \pi R}{z \sqrt{4 \pi^2 + z^2 + R^2}}\right)+ 2 \pi \cdot arsinh \left(\frac{R}{\sqrt{4 \pi^2 + z^2}}\right) \]
\[I_3 = \sqrt{4 \pi^2+z^2} - \sqrt{4 \pi^2 + z^2 + R^2} - z + \sqrt{z^2+R^2}\]
Leider hat das mit dem Ergebnis \(\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \left[1 - \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right] \cdot \vec{e}_z\) nicht wirklich viel zutun.
Für Hinweise, wo der Fehler liegt, wäre ich dankbar.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4972
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-23
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\quoteon(2021-10-23 18:07 - Lux93 in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-10-20 23:07 - jacha2 in Beitrag No. 3)
Das zyl. Orthonormalsystem wird aus dem Tripel \(\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_z\) aufgebaut, so daß Ortsvektoren \(\vec{r}\) in der Kreisscheibe als \(\vec{r}= r\vec{e}_r + \phi\vec{e}_\varphi\) in den von Dir genannten Grenzen liegen.
\quoteoff
Wenn ich für diesen Fall die Rechnung mal durchführe, erhalte ich das folgende Ergebnis, das leider vom richtigen Ergebnis abweicht:
\quoteoff
Die Formel $\vec r=r\vec e_r+\phi\vec e_\varphi$ ergibt schon aus Dimensionsgründen keinen Sinn (denn es werden Längen und Winkel addiert). Es ist einfach $\vec r=r\vec e_r$.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Okay, stimmt. Ich habe einfach nicht beachtet, wie die allgemeinen Ortsvektoren im entsprechenden Koordinatensystem aussehen.
Jetzt komme ich auch auf richtige Ergebnisse.
Vielen Dank, zippy.
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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