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  Boole'sche Algebra |
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X3nion
Aktiv 
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Mitteilungen: 1053
 |  Themenstart: 2021-10-16
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Hallo zusammen,
Folgende Boole'sche Zeichnung ist gegeben:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39550_Boole_sche_Logik.png
Hierzu soll nun der aussagenlogische Term beschrieben werden.
In der Lösung steht $z = \neg(x ∧ y) \vee \neg(x ≠ y) = 1$
Was ich nicht verstehe: wieso gilt für den zweiten Term $\neg(x \neq y)$?
Zudem steht geschrieben, dass es sich um eine Tautologie handelt. Wieso ist dem so?
Wie immer bin ich euch für jede Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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Sismet
Senior 
Dabei seit: 22.03.2021
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
was genau versteht du nicht?
das $\neg$ kommt von dem unteren Kreis vor dem OR-Gatter und $(x\neq y)=1$ ist die Darstellung des XOR-Gatter in der Musterlösung. Wenn du das XOR-Gatter nur mit AND-/OR- und NOT Symbolen ausdrücken wills, dann wäre die Lösung: $z=\neg(x\wedge y)\vee\neg((x\wedge\neg y) \vee (\neg x \wedge y))$
Und eine Tautologie ist, weil es egal ist was du für Werte in $x$ oder $y$ einsetzt, es wird immer $1$ rauskommen. Dass kannst du bei zwei Variablen einmal alles ausprobieren (sind ja nur 4 Kombinationen) oder du vereinfachst den Term einfach und siehst dann, dass $z=1$ gilt.
Grüße
Sismet
\(\endgroup\)
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X3nion
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-16
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Hey Sismet und vielen Dank für deine Antwort!
Genau also ich verstehe nicht, wieso das XOR-Gatter die Form $x \neq y = 1$ hat. Könntest du mir das vielleicht etwas ausführen?
Also wieso $(x \wedge \neg y) \vee (\neg y \wedge x) \iff x \neq y?$
Und wie kann man $z = \neg(x ∧ y) \vee \neg(x ≠ y)$ vereinfachen, sodass 1 rauskommt?
Viele Grüße,
X3nion
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Sismet
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
\quoteon(2021-10-16 19:17 - X3nion in Beitrag No. 2)
Also wieso $(x \wedge \neg y) \vee (\neg y \wedge x) \iff x \neq y?$
\quoteoff
Also der Ersteller der Lösung hat als XOR-Symbol eben $\neq$ gewählt, dass ist im Übrigen eine Abweichung von jeglicher mir bekannter Literatur. Weiter verbreitet sind $\dot{\vee}$ oder $\oplus$, oder du stellst es eben elementar da wie ich es gemacht habe, was für ne Optimierung sowieso häufig hilfreich ist.
Warum $(x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y) \iff x \dot{\vee} y$ gilt machst du dir am leichtesten mit der Wahrheitstabelle klar.
$\begin{array}{ c|c|c|c|c|c}
x & y & x \wedge \neg y&\neg x \wedge y& (x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y) & x\dot{\vee} y\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}$
\quoteon(2021-10-16 19:17 - X3nion in Beitrag No. 2)
Und wie kann man $z = \neg(x ∧ y) \vee \neg(x ≠ y)$ vereinfachen, sodass 1 rauskommt?
\quoteoff
Also dafür verwendet man bisschen boolsche Algebra:
$
z=\neg(x\wedge y)\vee \neg(x\dot{\vee} y)\\
=\neg(x\wedge y)\vee\neg((x\wedge\neg y) \vee (\neg x \wedge y))\\
=\neg((x\wedge y)\wedge((x\wedge\neg y) \vee (\neg x \wedge y)))\\
=\neg(((x\wedge y)\wedge(x\wedge \neg y))\vee ((x\wedge y)\wedge(\neg x\wedge y)))\\
=\neg(0\vee 0)=1
$
\(\endgroup\)
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X3nion
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18
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Hey Sismet,
ahh okay, ja ich dachte mir schon, dass die Notation eine andere ist.
Vielen Dank dir für deine Hilfe, auch mit dem Vorrechnen der boole'schen Algebra!
Viele Grüße,
X3nion
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X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
X3nion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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