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 Treppenfunktion mit Intervallen |
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Ak_1023
Junior 
Dabei seit: 01.04.2021
Mitteilungen: 12
Wohnort: Tirol
 |  Themenstart: 2021-10-17
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Hallo lieber Matheplanet,
ich hätte da eine Frage:
Man befinde sich in dem Messraum \((\mathbb{R},\mathcal{B},\mu)\) mit \(\mu\) ein Lebesgue-Stieljes-Maß.
Kann man allgemeine Treppenfunktionen, sprich
\(t_n=\sum_{i=1}^nx_i*\mathbb{1}_{A_i}\) mit \(A_i\in\mathcal{B}\)
darstellen mit \(u_n=\sum_{i=1}^nx_i*\mathbb{1}_{I_i}\) mit \(I_i=(a_i,b_i]\) also mit \(I_i\) Intervall(offen,halboffen oder abgeschloßen sei egal),bzw. mehrerer \(u_n\)?
Ich würde nämlich gerne nachweißen das die Menge der Treppenfunktion der Form der \(u_n\) dicht in \(L_p(\mu)\) liegen, hier habe ich als Hinweis noch gegeben, dass \(L_p\) separabel und die Endpunkte der Intervalle rational sind.
LG Ak
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-17
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Moin Ak_1023,
um zu zeigen, dass mit dem Semiring der Intervalle mit rationalen Endpunkten
\[\mathfrak{I}_{\mathbb{Q}} := \left\{(a_i,b_i]: a_i, b_i \in \mathbb{Q}\right\}\]
für $p < \infty$ die Menge
\[\mathcal{I} := \left\{\sum_{i = 1}^n x_i 1_{I_i}: n \in \mathbb{N}, x_i \in \mathbb{Q}, I_i \in \mathfrak{I}_{\mathbb{Q}}\right\}\]
dicht in $L^p(\mu)$ liegt, verwende Folgendes:
(i) Die Menge der integrierbaren Treppenfunktionen
\[\mathcal{T}_{< \infty} := \left\{\sum_{i = 1}^n x_i 1_{A_i}: n \in \mathbb{N}, x_i \in \mathbb{R}, A_i \in \mathfrak{B} \, \text{mit} \, \mu(A_i) < \infty\right\}\]
ist dicht in $L^p(\mu)$.
(ii) $\mathbb{Q}$ ist dicht in $\mathbb{R}$.
(iii) Es gilt $\mathfrak{B} = \sigma(\mathfrak{I}_{\mathbb{Q}})$ und der Approximationssatz für Maße wie etwa in Theorem 3.35 hier.
Zeige mit (ii) und (iii), dass du die Funktionen aus $\mathcal{T}_{< \infty}$ beliebig genau durch die in $\mathcal{I}$ approximieren kannst. Mit (i) schließt du dann auf die Behauptung.
LG,
semasch
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Ak_1023
Junior
Dabei seit: 01.04.2021
Mitteilungen: 12
Wohnort: Tirol
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-18
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Lieber Semasch,
danke für den Hinweis, ich werd das mal probieren, falls ich wo auf Probleme stoße melde ich mich.
Danke vorerst!
LG AK
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| Ak_1023 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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