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Mathematik » Stochastik und Statistik » Eine Folge von Lügnern L
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Universität/Hochschule J Eine Folge von Lügnern L
Akin
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Mitteilungen: 15
  Themenstart: 2021-10-17

Hallo, habe hier aus dem Buch Discrete Probability Models and Methods ein Problem. hier Angenommen ein Lügner L1 bekommt eine Ja-Nein Nachricht und übermittel diese mit der Wahrscheinlichkeit p an L2 korrekt weiter. L2 übermittelt an L3, L3 and L4, usw. Jeder übermittelt unabhängig voneinander. Was ist die Wahrscheinlicheit xn, dass Ln die richtige Nachricht erhält? (Ich schreibe hier P(xn)) Wie sieht der Grenzwert von xn aus mit n gegen unendlich? Da in Kapitel 1 von Binomialverteilung noch keine Rede war, kann ich meine ursprüngliche Idee die Summe über gerade Zahlen nCr(n,geradeZahl)*p^k*(1-p)^(n-k) und Anwendung der Stirlingschen-Gleichung für den Grenzwert ausschließen leider. Meine zweite Idee war eine rekursive Gleichung aufzustellen: P(xn) = P(xn-1)*p + (1-P(xn-1))*q mit Terminierung P(x2) = p. Aber ich weiß nicht wie ich das vereinfachen soll, ich muss ja irgendwie noch den Grenzwert berechnen. Gibt es eine andere Methode? Und wie würdet ihr rekursive Gleichungen im Grenzwert untersuchen? Edit: Danke für die Antwort


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-17

Moin Akin, du kannst das schon mit der von dir hergeleiteten Rekursion \[P(X_n) = p P(X_{n-1}) + (1-p) (1-P(X_{n-1})) = (2p-1) P(X_{n-1}) + 1-p, \quad P(X_1) = 1\] lösen. Diese Rekursion kannst du z.B. durch iteriertes Einsetzen lösen, also \[P(X_n) = (2p-1) P(X_{n-1}) + 1-p = (2p-1)^2 P(X_{n-2}) + (1-p) (1 + 2p-1) = (2p-1)^3 P(X_{n-3}) + (1-p) (1 + 2p-1 + (2p-1)^2) = \ldots\] Wenn du das obige Prozedere fortsetzt, kannst du $P(X_n)$ durch $P(X_1)$ ausdrücken und damit also bestimmen und das Grenzverhalten untersuchen. LG, semasch PS: Für das Ereignis $X_n$ sollte man besser sowas wie $A_n$ schreiben, da Großbuchstaben vom hinteren Ende des Alphabets eher für Zufallsvariablen gebräuchlich sind.


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