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Universität/Hochschule J Implizite Funktionen
aures13
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  Themenstart: 2021-10-23

Sehr geehrte Matheplaneten-Mitglieder, ich kenne mich beim folgenden Beispiel nicht aus. Sei F: \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) definiert durch \(F(x,y,z)^T\) = \(\left( \begin{array}{rrr} x^2 + 4y^2 + z^2 -5 \\ xy-1 \\ \end{array}\right)\) Für welche \((x,y,z)^T\) ist \(F(x,y,z)^T = 0\) eindeutig nach (y,z) auflösbar, sind also die dem Hauptsatz über implizit definierte Funktionen entsprechende Bedingungen erfüllt? Wie gehe ich da am besten vor. Ich finde nur Beispiele mit 2 Variablen. Vielen Dank für eure Hilfe. aures13


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 16:48 - aures13 im Themenstart) Sei F: \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) ... Für welche \((x,y,z)^T\) ist \(F(x,y,z)^T = 0\) ... \quoteoff Hallo aures13, da soll wahrscheinlich \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) und \(F(x,y,z)^T = (0,0)\) stehen. Du könntest xy-1 = 0 nach x auflösen und in die andere Gleichung einsetzen. Dann hast du noch eine Funktion \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\).


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 17:09 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1) Du könntest xy-1 = 0 nach x auflösen und in die andere Gleichung einsetzen. \quoteoff Wenn die Aufgabe aber explizit nach den Bedingungen des Satzes über implizite Funktionen fragt, ... \quoteon(2021-10-23 16:48 - aures13 im Themenstart) Für welche $(x,y,z)^T$ [...] sind also die dem Hauptsatz über implizit definierte Funktionen entsprechende Bedingungen erfüllt? \quoteoff ... führt wohl kein Weg daran vorbei, sich mit denen auch zu beschäftigen. Es ist also zu untersuchen, in welchen Punkten die Ableitung$$ {\partial F\over\partial(y,z)} = \begin{pmatrix} {\partial F_1\over\partial y}& {\partial F_1\over\partial z}\\ {\partial F_2\over\partial y}& {\partial F_2\over\partial z}\\ \end{pmatrix} $$regulär ist.


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aures13
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24

Danke für eure Antworten. Aber wie genau schaut mein \(F_1 \) und \(F_2\) aus? Ist \(F_1 \) einfach \(x^2 + 4y^2+z^2-5\) und \(F_2 = xy-1\)? Mit freundlichen Grüßen aures13


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-24

\quoteon(2021-10-24 17:48 - aures13 in Beitrag No. 3) Ist \(F_1 \) einfach \(x^2 + 4y^2+z^2-5\) und \(F_2 = xy-1\)? \quoteoff Ja.


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