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| Autor |
  Koordinatenräume |
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JoJoLion
Junior 
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2021-10-24
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Hi, auf Wikipedia, bei euklidischen Raum steht "Jeder
n-dimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zum Koordinatenvektorraum R^n".
Da wollte ich fragen, ob jeder Vektorraum isometrisch isomorph zu einem Koordinatenraum ist.
Vielen Dank im Voraus
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 Profil
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8303
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-24
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Hallo JoJoLion,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Rückfrage: Was verstehst du unter einem Koordinatenraum?
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Profil
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JoJoLion
Junior
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-24
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Ähm keine Ahnung ehrlich gesagt, also für mich ist ein Koordinatenraum einfach ein Raum mit Koordinatenachsen. Aber will nur wissen ob das falsch wäre, wenn ich das sagen würde, ist nicht so wichtig, was man unter Koordinatenraum versteht
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8303
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-24
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Z. B. bilden ja die stetigen Funktionen \(\IR\to\IR\) einen \(\IR\)-Vektorraum. Der wird sich wohl kaum als "Koordinatenraum" darstellen lassen.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4652
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-24
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Obwohl der Begriff Koordinatenraum meist nur im endlichdimensionalen Fall verwendet wird, bezeichnet er allgemein den Vektorraum, in dem die Koordinaten bezüglich einer Basis leben.
Hat man irgendeinen Vektorraum $V$ über einem Körper $k$ und sucht sich dort eine Basis $B$, so definiert diese Basis einen Isomorphismus von $V$ in den Koordinatenraum $k^B$ der Abbildungen von $B$ nach $k$. Einem Vektor $v=\sum_{b\in B}\beta(b)\,b\in V$ wird dabei die Abbildung $b\mapsto\beta(b)$ zugeordnet.
Im endlichdimensionalen Fall nummeriert man die Elemente von $B$ gerne durch, $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$, und betrachtet statt $b\mapsto\beta(b)$ die Abbildung $i\mapsto\beta(b_i)$. Damit kommt man dann zum Raum der $n$-Tupel $k^n$ als Koordinatenraum.
\quoteon(2021-10-24 21:27 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3)
Z. B. bilden ja die stetigen Funktionen \(\IR\to\IR\) einen \(\IR\)-Vektorraum. Der wird sich wohl kaum als "Koordinatenraum" darstellen lassen.
\quoteoff
Da jeder Vektorraum eine Basis hat, lässt sich auch dieser Vektorraum als Koordinatenraum darstellen.
\quoteon(2021-10-24 20:54 - JoJoLion im Themenstart)
Da wollte ich fragen, ob jeder Vektorraum isometrisch isomorph zu einem Koordinatenraum ist.
\quoteoff
Damit der Begriff isometrisch isomorph einen Sinn ergibt, muss man Vektorräume über $k=\mathbb R$ oder $k=\mathbb C$ mit Innenprodukt betrachten. Indem man eine Orthonormalbasis $B$ wählt, kann man auch für diese Vektorräume einen Isomorphismus auf einen "Koordinatenraum mit Innenprodukt" angeben, den man dann als $\ell^2(B)$ bezeichnet.
--zippy
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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Hallo,
falls mit "Koordinatenraum" ein Vektorraum der Form $\bigoplus_{i\in I} \IR$, also eine direkte Summe von eindimensionalen Vektorräumen gemeint ist, der mit dem Standardskalarprodukt ausgestattet ist, dann stimmt die Aussage nicht:
Jeder solche Koordinatenraum hat nämlich eine Orthonormalbasis.
Allerdings hat nicht jeder euklidische Vektorraum eine Orthonormalbasis (damit sei hier eine Vektorraumbasis aus normierten, paarweise orthogonalen Vektoren gemeint, vgl. Anmerkung am Ende) und folglich kann nicht jeder euklidische Vektorraum zu einem Koordinatenraum isometrisch sein.
Beispiel:
Wenn $V$ ein unendlich dimensionaler Hilbertraum, also ein unendlich dimensionaler euklidischer Vektorraum, der bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Metrik vollständig ist, dann hat $V$ keine Orthonormalbasis. Ist nämlich $B\subset V$ eine beliebige unendliche Menge von normierten und paarweise orthogonalen Vektoren und $e_1,e_2,\ldots$ eine unendliche injektive Folge in $B$, dann ist zwar aufgrund der Vollständigkeit von $V$ der Vektor $\sum_{n=1}^\infty \frac 1n e_n$ in $V$ enthalten, lässt sich aber nicht als Linearkombination von Elementen aus $B$ schreiben. Also ist $B$ keine Basis.
Anmerkung:
Üblicherweise definiert man den Begriff "Orthonormalbasis" in unendlich dimensionalen Räumen etwas anders. Nämlich versteht man darunter normalerweise ein Orthonormalsystem, dessen lineare Hülle dicht ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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