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 Induktionsbeweis |
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kirtazu
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 25
 |  Themenstart: 2021-10-25
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Hey liebe Matroids,
ich habe die folgende Aufgabe erhalten:
f(n) = 2^n + 3^n für die gilt n sei Element der natürlichen Zahlen (mit 0).
Die Aufgabe soll anhand vollständiger Induktion gelöst werden, jedoch habe ich im Induktionsschritt Probleme den Beweis fortzuführen.
Bis jetzt habe ich:
Induktionsanfang: f(0) = 2
Induktionsvorraussetzung: für ein beliebiges, aber festes n gilt: f(n) = 2^n + 3^n
Induktionsschritt: n -> n+1
Ab hier habe ich keinen Ansatz mehr, also hoffe ich auf etwas Anregung eurerseits :)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10497
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-25
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-10-25 17:39 - kirtazu im Themenstart)
ich habe die folgende Aufgabe erhalten:
f(n) = 2^n + 3^n für die gilt n sei Element der natürlichen Zahlen (mit 0).
\quoteoff
was ist denn eigentlich zu beweisen? So wie es dasteht, ist es doch einfach nur eine Zahlenfolge. Entweder hat \(f(n)\) noch irgendeine andere Bedeutung, oder du sollst irgendeine Eigenschaft dieser Folge beweisen.
Falls ja: welche?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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kirtazu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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In der Aufgabe steht folgendes:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55048_5555555.PNG
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10497
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-25
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Hallo,
ok. Es geht also um die explizite Darstellung einer rekursiv gegebenen Folge mit der Rekursionstiefe 2.
Dann besteht der Induktionsanfang natürlich aus zwei Startwerten, wie angegeben: \(f(0)=2\) und \(f(1)=5\).
Ist in der VL der Begriff "starke Induktion" gefallen, oder wurden irgendwie zwei Varianten dieses Beweisverfahrens behandelt? Jedenfalls geht es hier um eine solche starke Induktion. Die besteht hier darin nachzurechnen, dass der explizite Term \(f(n)=2^n+3^n\) die angegebene Rekursionsgleichung erfüllt. Dazu verwendest du noch die beiden Vorgänger \(f(n-1)=2^{n-1}+3^{n-1}\) und \(f(n-2)=2^{n-2}+3^{n-2}\).
Und ein wenig Fantasie. 🙂
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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kirtazu
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 25
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Hmm. Muss das echt mit einer starken Induktion gelöst werden? Diese Art haben wir bis jetzt noch gar nicht besprochen...
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10497
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-25
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Hallo,
besprochen oder nicht*: so muss es gehen. Denn ein einfacher Induktionsschluss \(n=k\to n=k+1\) tut es hier wegen der Rekursionstiefe nicht.
Wie gesagt: du musst hier die Gleichheit
\(2^n+3^n=5(2^{n-1}+3^{n-1})-6(2^{n-2}+3^{n-2})\)
nachrechnen. Im Endefekt muss das auf dem Zettel so stehen, dass du von der linken Seite ausgehend zur rechten Seite kommst. Da man hier den einen oder anderen Trick aus dem Ärmel schütteln muss empfiehlt es sich, das ganze erst einmal von rechts nach links nachzurechnen. Das geht sehr leicht und liefert dir dann einen roten Faden dafür, wie du es sinnvoll nachvollziehbar andersherum notieren kannst (Stichwort: Prinzip der nahrhaften Null).
* Manchmal muss man für solche Begriffe einfach auch nochmal seine Unterlagen respektive Lehrbücher durchforsten.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-25
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\quoteon(2021-10-25 18:41 - kirtazu in Beitrag No. 4)
Muss das echt mit einer starken Induktion gelöst werden?
\quoteoff
Nein, was hier zu tun ist, hat mit starker Induktion nichts zu tun.
Du benötigst hier für einen Induktionsschritt von $n$ auf $n+1$ zwei "vorherige" Funktionswerte, nämlich den für $n$ und $n-1$. Damit die beide zur Verfügung stehen, musst du die per Induktion zu zeigende Aussage passend formulieren. Etwa so: $A(n)$ $:=$ "Für $n$ und $n-1$ gilt ..."
Starke Induktion würde bedeuten, dass du für einen Induktionsschritt auf immer weiter zurückliegende Funktionswerte zurückgreifen müsstest.
--zippy
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-25
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@zippy:
Auf Wikipedia wird die Induktion mit mehreren Vorgängern aber unter diesem Begriff subsummiert. Darauf hatte ich mich bezogen.
Gruß, Diophant
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4402
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-25
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\quoteon(2021-10-25 18:53 - Diophant in Beitrag No. 7)
Auf Wikipedia wird die Induktion mit mehreren Vorgängen aber unter diesem Begriff subsummiert.
\quoteoff
Aus der starken Induktion ergibt sich natürlich die Induktion mit mehreren Vorgängern als "Abfallprodukt", aber der wesentliche Unterschied ist, dass bei der starken Induktion die Zahl der Vorgänger nicht fest ist.
Dass in dem Wikipedia-Artikel der Abschnitt "Induktion mit mehreren Vorgängern" unter der Überschrift "Starke Induktion" steht, ist daher irreführend. In der Version vom 14. Juli 2019 war die Trennung nach klarer.
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