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 Boolesche Algebra Beweis |
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dorfschmied
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
 |  Themenstart: 2021-10-26
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Hallo,
ich versuche mich gerade an einigen Beweisen , und scheitere gerade an der Aufgabe die Disjunktionsregel
\[a \vee 1=1\]
mit Hilfe der Idempotenz-Regel
\[a \vee a=a\]
zu beweisen. Verwenden darf ich dazu verschiedene Umformungsregeln. Ich scheitere jedoch schon zu Beginn, da ich versucht habe aus der Idempotenz-Regel die Disjunktionsregel umzuformen und das aber nicht möglich ist da die Disjunktionsregel =1 und die Idempotenz = a steht. Kann mir jemand einen Tipp für einen Ansatz geben?
LG
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2707
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
\quoteon(2021-10-26 14:03 - dorfschmied im Themenstart)
Hallo,
ich versuche mich gerade an einigen Beweisen , und scheitere gerade an der Aufgabe die Disjunktionsregel
\[a \vee 1=1\]
mit Hilfe der Idempotenz-Regel
\[a \vee a=a\]
zu beweisen. Verwenden darf ich dazu verschiedene Umformungsregeln. Ich scheitere jedoch schon zu Beginn, da ich versucht habe aus der Idempotenz-Regel die Disjunktionsregel umzuformen und das aber nicht möglich ist da die Disjunktionsregel =1 und die Idempotenz = a steht. Kann mir jemand einen Tipp für einen Ansatz geben?
LG
\quoteoff
Es gibt viele Möglichkeiten, Boolesche Algebren zu axiomatisieren. Daher stellt sich die Frage: Was sind denn die "verschedenen Umformungsregeln", die du benutzen darfst?\(\endgroup\)
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dorfschmied
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26
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Ich darf die Kommutativität, Assoziativität, Distributivität , Neutralen Elemente, Adjunktivität und natürlich die Dualität nutzen.
LG
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tactac
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Mitteilungen: 2707
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ist „Adjunktivität“ dasselbe wie das gelten der Absorptionsgesetze? (Es ist für effiziente Kommunikation ratsam, die Regeln hinzuschreiben, nicht nur die von einer zufällig ausgewählten Person zufällig ausgewählten Namen.) Falls ja, reicht diese zusammen mit der Neutralität von 1 bzgl. $\land$. \(\endgroup\)
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dorfschmied
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26
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Hier sind die Regeln im Detail:
Kommutativität
$$
\begin{aligned}
&a \vee b=b \vee a \\
&a \wedge b=b \wedge a
\end{aligned}
$$
Assoziativität
$$
\begin{aligned}
&a \vee(b \vee c)=(a \vee b) \vee c=a \vee b \vee c \\
&a \wedge(b \wedge c)=(a \wedge b) \wedge c=a \wedge b \wedge c
\end{aligned}
$$
Distributivität
$$
\begin{aligned}
&a \vee(b \wedge c)=(a \vee b) \wedge(a \vee c) \\
&a \wedge(b \vee c)=(a \wedge b) \vee(a \wedge c)
\end{aligned}
$$
Operationen mit neutralen Elementen
$$
\begin{aligned}
&a \vee 0=a \\
&a \wedge 1=a
\end{aligned}
$$
Idempotenz
$$
\begin{aligned}
&a \vee a=a \\
&a \wedge a=a
\end{aligned}
$$
Adjunktivität
$$
\begin{aligned}
&a \wedge(a \vee b)=a \\
&a \vee(a \wedge b)=a
\end{aligned}
$$
Disjunktions- und Konjunktionsregel
$$
\begin{aligned}
&a \vee 1=1 \\
&a \wedge 0=0
\end{aligned}
$$
Absorptionsgesetze
$$
\begin{aligned}
(a \wedge b) \vee(\bar{a} \wedge b) &=(a \vee b) \wedge(\bar{a} \vee b)=b \\
a \vee(\bar{a} \wedge b) &=a \vee b \\
a \wedge(\bar{a} \vee b) &=a \wedge b
\end{aligned}
$$
Ich weiss wie das mit der Absorption funktioniert, habe hier jedoch nur die drei Fälle mit Negationen gegeben, dass würde bei diesem Beispiel leider nicht greifen oder?
LG
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Finn0
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Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 55
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-26
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Nee, so geht das nicht. Da steht die Formel ja schon mit dabei. Dann müsste sie nicht bewiesen werden.
Wenn es ein Hilbert-Kalkül ist, muss es so ein Axiomensystem wie in List of Hilbert systems sein. Eine Alternative ist der Kalkül des natürlichen Schließens.
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Finn0
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-26
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Nun hab ich noch einmal drüber nachgedacht. Da hier 0, 1 auftauchen, handelt es sich wohl um eine allgemeine boolesche Algebra. Die Aufgabe ergibt trotzdem nur dann einen Sinn, wenn Axiome zur Verfügung gestellt sind, bei der die zu beweisende Formel nicht bereits enthalten ist. Ich will es mal so ausdrücken: Wenn du fast alle Regeln bereits bekommst, wird die Aufgabe mehr oder weniger witzlos. Es geht bei einer typischen Aufgabenstellung eigentlich darum, die Axiome/Regeln aus einem anderen Axiomensystem herzuleiten.
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Finn0
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-26
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Ähm, also ich hab nochmals drüber nachgedacht. Es geht bei dieser Aufgabe wohl darum, ein redundantes Axiom zu entfernen. Das ergibt schon einen Sinn.
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2707
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-26
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\quoteon(2021-10-26 18:14 - dorfschmied in Beitrag No. 4)
Ich weiss wie das mit der Absorption funktioniert, habe hier jedoch nur die drei Fälle mit Negationen gegeben, dass würde bei diesem Beispiel leider nicht greifen oder?
LG
\quoteoff
Ich meinte mit „Absorption“ jedenfalls das, was du unter „Adjunktivität“ aufgelistet hast. Ich habe das in #3 schon vermutet, deshalb gilt der Rest, der da steht, immer noch.
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Finn0
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Mitteilungen: 55
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-26
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1. $1\land (1\lor a) = 1$ (Adjunktivität, a:=1, b:=a)
2. $(1\lor a)\land 1 = 1$ (Kommutativität, 1.)
3. $1\lor a = 1$ (Neutralität, 2.)
4. $a\lor 1 = 1$ (Kommutativität, 3.)
Hergeleitet unter Nullverwendung von $a\lor a=a$.
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