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Kombinatorik & Graphentheorie » Binomialkoeffizienten » Kombinatorik - Parkplatzproblem
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Universität/Hochschule J Kombinatorik - Parkplatzproblem
kirtazu
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  Themenstart: 2021-10-27

Hey liebe Matroids, auch hier bitte ich um eine Bestätigung bzw. Erklärung einer Aufgabe, falls ich falsch liegen sollte. Die Aufgabe lautet: Es gibt einen Parkplatz mit 10 freien Plätzen und 15 Autos, welche da parken möchten. 1.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Autos auszuwählen, die einen freien Parkplatz finden 2.) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 der 15 Autos auf die Parkplätze zu verteilen, wenn man sich noch interessiert welches Auto auf welchem Parkplatz steht. 3.) Die Autos werden von 1 bis 15 nummeriert und die Parkplätze von 1 bis 10. Wie viele Möglichkeiten gibt es 10 Autos auszuwählen, die einen freien Parkplatz finden, wenn nur auf den Parkplätzen von 1 - 7 nur die Autos 1 bis 10 und auf den Parkplätzen 8 bis 10 nur die Autos 11 bis 15 stehen dürfen. Ansatz/Lösung: Zu 1.) hätte ich 10! bzw. 3638800 als Lösung Zu 2.) hätte ich 15!/(15-10)! bzw. 1,09*10^10 als Lösung Zu 3.) Hier fehlt mir der Ansatz. Ich hatte überlegt 10!/(10-7)! und 5!/(5-3)! zu kombinieren. Bin mir hier aber nicht sicher.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27

Hallo, die 1) ist falsch. Vor dem Hintegrund, dass die 2) richtig ist, wirst du den Denkfehler aber vermutlich selbst finden (Stichwort: Urnenmodelle). Zur 3): wenn man das so versteht, dass man sich auch hier dafür interessiert, welches Auto auf welchem Parkplatz steht, dann ist deine Idee schon richtig. Da müsstest du jetzt nur noch herausfinden, auf welche Grundrechenart dieses "Kombinieren" hinausläuft. Wobei ich das hier eigentlich eher so verstehen würde, dass die Reihenfolge jetzt wieder egal ist. Der Aufgabentext gibt eine Beachtung der Reihenfolge bei 3) jedenfalls nicht her. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Kombinatorik & Graphentheorie' in Forum 'Binomialkoeffizienten' von Diophant]


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Caban
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-27

Hallo Beim 2. und beim 3. habe ich dasselbe wie du. Beim ersten werden die Autos aber nicht angeordnet sondern es werden nur welche ausgesucht. PS: Auch bei der dritten hätte ich jetzt etwas anderes, es geht nicht darum welches Auto wann ausgewählt wurde, sondern nur um die Auswahl der Autos. Also wäre das eine Aufgabe für den Binomialkoeffizienten. Gruß Caban [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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kirtazu
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Wie würde denn die Rechnung aussehen, wenn die Autos ausgewählt werden? Das verstehe ich nicht so ganz


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-10-27 10:03 - kirtazu in Beitrag No. 3) Wie würde denn die Rechnung aussehen, wenn die Autos ausgewählt werden? Das verstehe ich nicht so ganz \quoteoff Und ich verstehe deine Frage nicht so ganz. 😉 Es geht ja jeweils darum, ob zusätzlich zur Auswahl der Autos noch die Reihenfolge beachtet wird, also welches Auto tatsächlich auf welchem Parkplatz zu stehen kommt. Und wenn man das tut, dann läuft es wie bei der 2) auf die Formel \[z=\frac{n!}{(n-k)!}\] hinaus. Du hast also bei der 2) alles richtig gemacht. Bei der 1) wird diese Reihenfolge aber nicht beachtet. Es handelt sich also um Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Da müsste es klingeln... Und bei der 3) kannst du ja jetzt entscheiden, wie du das verstehen möchtest. Soll man die Reihenfolge hier auch beachten, ja oder nein? Falls ja: dann ist auch hier deine obige Überlegung richtig. Falls nein, dann kläre erst einmal wie die 1) geht und rechne die 3) entsprechend. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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kirtazu
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Also wenn es ohne Wiederholung und ohne Zurücklegen ist, dann sollte die Formel wie folgt lauten: 10!/(10-10)!*10! Macht aber nicht so viel Sinn


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-10-27 10:29 - kirtazu in Beitrag No. 5) Also wenn es ohne Wiederholung und ohne Zurücklegen ist, dann sollte die Formel wie folgt lauten: 10!/(10-10)!*10! Macht aber nicht so viel Sinn \quoteoff Das ist ja auch nicht richtig so. Bei der 1) wären es dann \[n={15 \choose 10}=\frac{15!}{10!\cdot(15-10)!}=3003\] Möglichkeiten. Du solltest dir die elementaren Zählkonzepte nochmal klarmachen. Also nicht nur die Formeln auswendig wissen, sondern versuchen zu verstehen, wie diese zustande kommen. Etwa die Tatsache, dass man im Fall der Teilaufgabe 2) genau \(10!\)-mal so viel Möglichkeiten hat wie bei der 1), denn man betrachet jetzt für jede Kombination von 10 aus 15 Autos deren mögliche Reihenfolgen. Und es ist (oh Wunder): \[{15 \choose 10}\cdot 10!=\frac{15!}{10!\cdot(15-10)!}\cdot 10!=\frac{15!}{(15-10)!}\] Und allgemein dann \[{n \choose k}\cdot k!=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k!=\frac{n!}{(n-k)!}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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kirtazu
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Okay, danke. Dann sollte ich mal noch mal drüberschauen. Zu 3.): Wird doch auch wieder ausgewählt. Also müsste es doch theoretisch mit der von ihn genannten Formel berechnet werden, oder?


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-10-27 11:44 - kirtazu in Beitrag No. 7) Zu 3.): Wird doch auch wieder ausgewählt. Also müsste es doch theoretisch mit der von ihn genannten Formel berechnet werden, oder? \quoteoff Es ist doch nicht die Frage, ob ausgewählt wird oder nicht. Es geht um die Frage, ob die Reihenfolge der ausgewählten Autos (innerhalb der jeweils vorgesehenen Bereiche) beachtet werden soll oder nicht. Und was die von mir genannte Formel angeht, so solltest du schon dazusagen, welche von beiden du meinst. 😉 Deinen Unterlagen solltest du entnehmen können:
  • Ziehen von k Elementen aus einer n-elementigen Menge ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge: \[z={n \choose k}\]
  • Ziehen von k Elementen aus einer n-elementigen Menge ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge: \[z=\frac{n!}{(n-k)!}\] Letztere Formel hast du als Ansatz zu Aufgabenteil 3) gewählt. Das Problem daran (wie schon mehrfach erwähnt): aus dem Text lässt sich hier nichts herauslesen, was eine Beachtung der Reihenfolge nahelegt. Hast du die Aufgabe im Originalwortlaut wiedergegeben? Jedenfalls wäre deine Rechnung aus dem Themenstart für diesen Fall richtig, wenn du die beiden Anzahlen noch miteinander multiplizierst. Nach meiner Auffassung (und der von Caban, siehe Beitrag #2) geht es aber bei 3) wieder um Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. Also musst du für diesen Fall deine Vorgehensweise entsprechend anpassen. Die dafür notwendige Formel wurde jetzt schon mehrfach genannt bzw. angegeben. Wie dieser Aufgabenteil 3) nun genau zu interpretieren ist, das musst letztendlich du alleine entscheiden (denn nur du weißt momentan, ob da oben der komplette Originalwortlaut steht oder nicht). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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    kirtazu
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      Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

    Also der genaue Wortlaut der Aufgabe wäre folgender: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55048_wqa.PNG Wenn ich das richtig verstanden habe wäre die Lösung für diese Aufgabe(3.): 1200 Möglichkeiten.


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    Diophant
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      Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-27

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-10-27 16:37 - kirtazu in Beitrag No. 9) Wenn ich das richtig verstanden habe wäre die Lösung für diese Aufgabe(3.): 1200 Möglichkeiten. \quoteoff Richtig: \[n={10 \choose 7}\cdot{5 \choose 3}=120\cdot 10=1200\] Und so wie das formuliert ist würde ich mich festlegen: das ist dann im Sinne der Aufgabe richtig und die Reihenfolge wird nicht beachtet. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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    kirtazu
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      Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

    Vielen Dank!


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