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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Ableitung Bondmarkt xᵀAx/(b²+xᵀAx)
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Universität/Hochschule J Ableitung Bondmarkt xᵀAx/(b²+xᵀAx)
AlexiBumBexi
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  Themenstart: 2021-10-27

Hallo, ich möchte die folgenden Funktionen ableiten, wäre über Tipps dankbar. Gegeben sind $g(x) = x^TAx$ und $h(x) = \frac{x^TAx}{b^2 + x^TAx}$ wobei $b \in \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}^n$ und$A = I$ mit den Elementen $a_{i,i} = i + 1$. Meine Lösung: $\nabla g(x) = 2x^TA$ , $\nabla^2 g(x) = 2A$ $\nabla h(x) = \frac{2x^TA \cdot (b^2 + x^TAx) - x^TAx \cdot 2x^TA}{(b^2 + x^TAx)^2} = \frac{2x^TA \cdot b^2}{(b^2 + x^TAx)^2}$ $\nabla^2 h(x) = \frac{2Ab^2 \cdot (b^2 + x^TAx)^2 - 2x^TAb^2 \cdot 2(b^2 + x^TAx) 2x^TA}{(b^2 + x^TAx)^4}$ Bei der letzten Ableitung könnte man noch kürzen, aber würde dies erstmal so stimmen? Unsere Konvention beim Ableiten ist $\nabla f(x) = [\frac{\partial}{\partial x} f(x)]^T$. Grüße Alex


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AlexiBumBexi
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Ok Ich glaube hier merkt man den Fehler: Ich habe die Ableitung: $\nabla^2 h(x) = \frac{2Ab^2 \cdot (b^2 + x^TAx)^2 - 2x^TAb^2 \cdot 2(b^2 + x^TAx) 2x^TA}{(b^2 + x^TAx)^4}$ Vereinfache ich einmal kommt man auf: $\nabla^2 h(x) = \frac{2Ab^2 \cdot (b^2 + x^TAx)^2 - 2x^TAb^2 \cdot 2(b^2 + x^TAx) 2x^TA}{(b^2 + x^TAx)^4} = \frac{2b^2A \cdot (b^2 + x^TAx) - 8b^2x^TAx^TA}{(b^2 + x^TAx)^3} = \frac{2b^4A + 2b^2A \cdot x^TAx) - 8b^2x^TAx^TA}{(b^2 + x^TAx)^3}$ Wenn man sich dann einmal $2b^2A \cdot x^TAx$ speziell $A \cdot x^TAx$ im Zähler anschaut, dann weiß ich nicht ob dies so überhaupt sein darf, denn $x^T$ ist ein $1xn$ Vektor, da transponiert, und $A$ ist eine $nxn$ Matrix, dies geht ja nicht. Allerdings ist $x^TAx$ ein Skalar ($1x1$), somit wäre dies wieder machbar? Viele Grüße Alex


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Bozzo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-01 03:26

Hallo AlexiBumBexi, grundsaetzlich hast du nicht so schlecht gerechnet (hab nicht alles genau geprueft, sieht jedoch prinzipiell richtig aus). Jedoch kommst du wahrscheinlich mit den Konventionen bei den Vektorableitungen etwas durcheinander. Ich vermute fuer f : ℝn → ℝ soll ∂/∂x f(x) ein Zeilenvektor und ∇f(x) ein Spaltenvektor sein, bei dir ist ∇g(x) jedoch ein Zeilenvektor, du hast da denke ich ∂/∂x g(x) berechnet. ∇2h(x) soll wahrscheinlich die Hesse-Matrix ∂/∂x ∇h(x) sein. Da da jetzt "wild" hin und her transponiert wurde, um diese auf Matrixform zu bekommen, kann es schon passieren, dass da sowas wie (xTAx)A steht, was sich so zwar berechnen lasst, aber nicht beliebig zu z. B. xTA(xA) umklammern lasst. Das ist leider eine Schwaeche der Matrixalgebra, weswegen fuer hoehere Ableitungen oft lieber zu einem Tensorkalkuel gegriffen wird. Falsch macht es das Ergebnis allerdings deswegen nicht.


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