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| Autor |
  Basis von Vektorräumen |
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JoJoLion
Junior 
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2021-10-31
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Hi, also ich stelle hier so viele Fragen, weil ich über Vektorräume und magische Quadrate bald ein Vortrag halten muss. Das mit der Basis verstehe ich noch nicht so ganz, wäre deshalb cool, wenn mir jemand für den Vektorraum \(V = \{(x,y,1)\mid x,y \in \mathbb{R}\}\) nennen könnte. Und dabei noch die Frage, die anderen Vektoren müssen ja als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden können, da benutzt man aber die normale Skalarmultiplikation und nicht wie sie in dem Vektorraum gilt oder=
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 Profil
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LetsLearnTogether
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-31
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Hallo,
du meinst $V=\{(x,y,1)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$?
\quoteon
Das mit der Basis verstehe ich noch nicht so ganz
\quoteoff
Wie ist denn eine Basis definiert?
\quoteon
die anderen Vektoren müssen ja als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden können, da benutzt man aber die normale Skalarmultiplikation und nicht wie sie in dem Vektorraum gilt oder
\quoteoff
Was meinst du denn mit "normaler Skalarmultiplikation" und "wie sie in dem Vektorraum gilt".
Du musst natürlich aufpassen.
Wenn du mit normaler Skalarmultiplikation meinst, dass du komponentenweise multiplizierst, also
$\lambda(x,y,1)=(\lambda x, \lambda y, \lambda)$, dann ist dies nicht abgeschlossen, denn die Elemente aus deinem Vektorraum (Frage: Was ist das neutrale Element bezüglich Vektoraddition? Bzw. ist dir klar weshalb dies ein Vektorraum ist?) enthält ja nur Vektoren der Form $(x,y,1)$. Wenn du das einfach mit einem Skalarmultiplizierst, dann ist das in der Regel kein Element aus deinem Vektorraum mehr.
Da musst du also aufpassen.
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Profil
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JoJoLion
Junior
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31
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\quoteon(2021-10-31 11:15 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 1)
Hallo,
du meinst $V=\{(x,y,1)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$?
\quoteoff
Ja meine ich
\quoteon
Wie ist denn eine Basis definiert?
\quoteoff
Wie das definiert ist, weiß ich, als ein minimales erzeugendes System, also linear unabhängige Vektoren, mit denen jeder Vektor aus V als Linearkombination dargestellt werden können.
\quoteon
Was meinst du denn mit "normaler Skalarmultiplikation" und "wie sie in dem Vektorraum gilt".
Du musst natürlich aufpassen.
Wenn du mit normaler Skalarmultiplikation meinst, dass du komponentenweise multiplizierst, also
\quoteoff
Also ja das meine ich damit
\quoteon
$\lambda(x,y,1)=(\lambda x, \lambda y, \lambda)$, dann ist dies nicht abgeschlossen, denn die Elemente aus deinem Vektorraum (Frage: Was ist das neutrale Element bezüglich Vektoraddition? Bzw. ist dir klar weshalb dies ein Vektorraum ist?) enthält ja nur Vektoren der Form $(x,y,1)$. Wenn du das einfach mit einem Skalarmultiplizierst, dann ist das in der Regel kein Element aus deinem Vektorraum mehr.
Da musst du also aufpassen.
\quoteoff
Ja das ist mir klar, die Skalarmultiplikation, ist in dem Beispiel jetzt:
\(r*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r*x_1 \\ r*x_2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Aber mir ist halt nicht klar, ob das für die Basis eine Rolle spielt, also wenn ich da die Basen mit was multipliziere, dann diese Skalarmultiplikation anwenden muss und die dazugehörige Vektoraddition:
\(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 +y_1\\ x_2 +y_2\\ 1 \end{pmatrix}\)
Also das wenn ich den Vektor als Linearkombination darstellen will, der Basen, ich so rechnen muss, wenn ja, dann wäre B doch einfach {\( \begin{pmatrix} 1 \\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\1\\1 \end{pmatrix} \)},
Weil dann wäre \( \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix} = 5* \begin{pmatrix} 1 \\0\\1 \end{pmatrix}+ 3* \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}\)
Hoffe ist klar was ich meine
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LetsLearnTogether
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-31
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Ja, genau. Dem habe ich nichts hinzuzufügen.
Insbesondere hat dein Vektorraum die Dimension zwei.
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JoJoLion
Junior
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31
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JoJoLion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JoJoLion hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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