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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Von messbaren Funktionen
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Universität/Hochschule Von messbaren Funktionen
dendi
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  Themenstart: 2021-11-04

Hallo zusammen, ich komme wiedermal nicht weiter un braue einen kleinen Denkanstoss : Hier ist (\Omega,A,\mue) ein Massraum, Seien f, f_1 , ... , f_n .. messbare Funktionen für die f_n (-> \mue) f und für alle n , |f_n(x) |<= 1 für f.ü x. Zeigen Sie, dass |f(x)|<= 1 f.ü: meine Überlegung (welcher ich mir gar nicht sicher bin, irgenwie dünkt es mich noch komisch) : f_n (-> \mue) f <=> \forall\ \epsilon>0 : \mue({x:\|f_n (x)-f(x)\| >= \epsilon})(-> n->\inf ) 0 \forall\ n,\exists\ N \el\ \Omega:\mue(N)=0 und \forall\ x \el\ \Omega\\N : \|f_n (x)\|<=1 (|f_n (x) - f(x)\| ) <= (|f_n (x)\|-|f(x)\|) <= (1 + |f(x)\|) Stimmt den meine Überlegung bis hierher überhaupt? Und wenn ja kann mir jemand sagen, wie ich weiterfahren soll? Und wenn nicht, was habe ich falsch gemacht, bze wie kann ich es anderst machen? Liebe Grüsse


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-04

Moin dendi, dein Ansatz passt so nicht ganz bzw. ist nicht zielführend. Ich würde dir folgendes Vorgehen empfehlen: (i) Zeige, dass aus der Konvergenz im Maß folgt, dass für jedes $\epsilon > 0$ die Beziehung \[\mu\left(\bigcap_{n = 1}^{\infty} [|f_n - f| \ge \epsilon]\right) = 0\] gilt. (ii) Folgere aus (ii), dass dann \[\mu\left(\bigcup_{m = 1}^{\infty} \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left[|f_n - f| \ge \frac{1}{m}\right]\right) = 0\] gilt. (iii) Überlege dir weiters, dass aus $f_n \le 1$ $\mu$-f.ü. für alle $n \in \mathbb{N}^+$ folgt, dass \[\mu\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty} [f_n > 1]\right) = 0\] gilt. (iv) Definiere schließlich \[N := \bigcup_{m = 1}^{\infty} \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left[|f_n - f| \ge \frac{1}{m}\right] \cup \bigcup_{n = 1}^{\infty} [f_n > 1].\] Überlege dir, dass $\mu(N) = 0$ gilt und zeige für $x \in N^c$, dass $f(x) \le 1$ gilt. LG, semasch Edit: Entfernung von überflüssigen Beträgen.


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