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Analysis » Maßtheorie » Borel-Sigma-Algebra translationsinvariant
Autor
Universität/Hochschule Borel-Sigma-Algebra translationsinvariant
Frau_holle
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.11.2021
Mitteilungen: 1
  Themenstart: 2021-11-09

Hallo, ich soll zeigen, dass die Borel-Sigma-Algebra translationsinvariant ist. Ich wollte mal fragen ob mein momentaner Weg so funktioniert. Ich weiß, dass alle Borelmengen Lebesque-messbar sind. Es gilt also \(Bor(\mathbb{R})\subseteq Leb(\mathbb{R})\). Nun hab ich gezeigt, dass das Lebesguemaß translationsinvariant ist. Kann ich nun auch folgern, dass die Borel-Sigma-Algebra translationsinvariant ist? Falls nein, könntet ihr mir einen Hinweis geben, wie ich sonst vorgehen sollte? Liebe Grüße Holle

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sonnenschein96
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Mitteilungen: 705
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-09

Hallo Holle, \quoteon(2021-11-09 08:19 - Frau_holle im Themenstart) Ich weiß, dass alle Borelmengen Lebesque-messbar sind. Es gilt also \(Bor(\mathbb{R})\subseteq Leb(\mathbb{R})\). Nun hab ich gezeigt, dass das Lebesguemaß translationsinvariant ist. Kann ich nun auch folgern, dass die Borel-Sigma-Algebra translationsinvariant ist? \quoteoff Ich denke nicht, dass Du damit zum Ziel kommst. Du willst zeigen, dass für \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\) und \(x\in\mathbb{R}\) auch \(x+A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\) ist. Betrachte dazu die Abbildung \(\tau\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \tau(y):=y-x\) und überlege Dir, dass \(x+A=\tau^{-1}(A)\) ist. Überlege Dir nun weiter, dass \(\tau\) eine \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)-\(\mathcal{B}(\mathbb{R})\)-messbare Abbildung ist, womit aus \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\) folgt, dass \(x+A=\tau^{-1}(A)\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\).

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