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Universität/Hochschule Bloch Beweis, Funktionentheorie, komplexe Analysis
MarcelUnwissend
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  Themenstart: 2021-11-11

Hallo Roids, ich soll den Beweis von Lemma 10.3 aus dem Buch Funktionentheorie 2 von Remmert darstellen. Der Satz lautet. Sei $V = B_r(a)$ eine Kreisscheibe von Radius $r>0$, $f \in \mathcal{O}(\bar{V})$ nicht konstant und $|f'|_V \leq 2|f'(a)|$. Dann gilt $B_R(f(a)) \subset f(V)$ mit $R:= (3-2\sqrt{2})|f'(a)|r$, wobei $(3-2\sqrt{2})>\dfrac{1}{6}$ Ich habe es bisher so gemacht: Es gelte $a=f(a)=0$. Wir definieren $A(z):=f(z)-f'(0)z$. Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhalten wir $A(z)=\int\limits_{0}^{z} f'(\zeta)- f'(0) \ d\zeta$. Aufgrund der Standardabschätzung gilt $|A(z)| = |f(z)-f'(0)z| \leq |f(z)-f'(0)||z| =\int\limits_{0}^{1} |f'(zt)- f'(0)||z| \ dt$. Mithilfe der Cauchy Integralformel erhalten wir für ein $v \in V$ $f(v)= \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-v} d\zeta$ und $f(a) = f(0)= \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta} d\zeta$. Wir schreiben nun $f(v)-f(0) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-v} d\zeta - \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta} d\zeta = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{vf(\zeta)}{\zeta(\zeta -v)} d\zeta $. Durch Ableiten ergibt sich $f'(v)-f'(0)=\dfrac{v}{2\pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f'(\zeta)d\zeta}{\zeta(\zeta-v)}$ meine Frage lautet. Darf ich den letzten Schritt so machen oder wäre das flasch ? ich weiß nämlich nicht wie ich sonst auf $f'(\zeta)$ kommen soll. Das Endergebnis ist richtig laut dem Buch nur mein Weg schätze ich hat einen Fehler. Vielen Dank für euere Mithilfe


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-13

Hallo MarcelUnwissend, herzlich willkommen auf dem Matheplanet! Die Cauchysche Integralformel gilt für jede holomorphe Funktion. Weil dann auch jede Ableitung holomorph ist, kann man gleich die Ableitung in die Integralformel einsetzen und muss das nicht aus der ursprünglichen Funktion herleiten. Viele Grüẞe, Stefan


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MarcelUnwissend
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-13

Vielen Dank für deine Nachricht Stefan, ich bin mir jetzt noch nicht ganz sicher welche der beiden Versionen du meinst deshalb schreibe ich die mal kurz auf: 1. Da f holomorph ist kann ich direkt die Ableitung von f in die Cauchy Integralformel einsetzen somit ergibt sich $f'(v)-f'(0)=\dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f'(\zeta)}{\zeta-v} d\zeta - \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f'(\zeta)}{\zeta} d\zeta= \dfrac{v}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f'(\zeta)}{\zeta(\zeta-v)} d\zeta$ 2. Mithilfe der Cauchy Integralformel erhalten wir für ein $v \in V$ $f'(v)= \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-v)^2} d\zeta$ und $f'(a) = f'(0)= \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta^2} d\zeta$ Damit: $f'(v)-f'(0)= \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\partial{V}} \dfrac{(2vc-v^2)}{c^2(c-v)^2}f(\zeta)d\zeta$ genau hier wüsste ich nun nichtmehr weiter daher schätze ich mal du meinstest die erste Version. Reicht die Begründung aus oder müsste man noch mehr ins Detail gehen? Für mich wäre das eigentlich schon ausreichend. Vielen Dank


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-14

Meinst du die Begründung "Da f holomorph ist..."? Die würde ich mit "Da mit f auch die Ableitung von f holomorph ist..." beginnen.


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MarcelUnwissend
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-14

Super Vielen vielen Dank 👍👍👍


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