Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Richtungsableitung
Autor
Universität/Hochschule Richtungsableitung
sina1357
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
  Themenstart: 2021-11-16

Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit Richtungsableitungen und bin im Wikipediaartikel auf eine alternative Definition gestoßen: de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung Mir ist klar, warum durch die speziell angegebene Parametergerade γ eine äquivalente Definition der Richtungsableitung gegeben ist. Jedoch verstehe ich nicht, warum diese Definition auf eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit γ(0)=x und Tangentialvektor γ´(0)=v erweitert werden kann. Woher weiß ich dann, dass D_vf(x)=d/dt f(γ(t))∣t=0 existiert? Und wieso ist das Ergebnis unabhängig von der Wahl meiner Kurve? Danke für eure Hilfe!


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2076
Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, in dem von dir verlinkten Artikel wird deine Frage einen Satz später beantwortet: Sei $U\subseteq \mathbb R^n$ offen, $x_0\in U$ und $f\colon U\to \mathbb R$ in $x_0$ total differenzierbar. Sei weiter $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ eine differenzierbare Kurve mit $\gamma(0)=x_0$ und $\gamma'(0)=v$. Dann gilt $$ D_vf(x_0):=\mathrm d(f\circ \gamma)(0)=(\mathrm df(\gamma(0))\circ \mathrm d\gamma)(0)=\mathrm df(x_0)(v). $$ Folglich existiert in diesem Fall der Wert auf der linken Seite und ist unabhängig von $\gamma$. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
sina1357
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16

Hallo Nico, vielen Dank für deine Antwort. Mit deiner Ausführung ist es mir klar geworden. Mir stellt sich nun noch die Frage, ob sich diese Argumentation auf Mannigfaltigkeiten M übertragen ließe, also für eine Funktion f: M ->R.


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2076
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, auch diese Frage wird nur wenig später in dem selben Artikel beantwortet. Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $p\in M$ und $v\in T_pM$ sowie $f\colon M\to \mathbb R$ differenzierbar in $p$, so kann man auch hier $$ D_vf(p):=\mathrm d(f\circ \gamma)(0) $$ setzen, wenn $\gamma(0)=p$ und $[\gamma'(0)]_p=[v]_p$ gilt. Das Differential von $f$ in $p$ ist in diesem Fall ja gerade eine (lineare) Abbildung $$ \mathrm df(p)\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R\cong \mathbb R. $$ LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]