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| Autor |
 Direkte Summe von Unterräumen |
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jannik2002
Neu 
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2021-11-16
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Servus zusammen, auch nach langem Nachdenken kommen wir bei der folgenden Aufgabe nicht weiter. Uns fehlt einfach ein richtiger Ansatz. Kann uns eventuell jemand helfen?\]
Im R-Vektorraum R^R = Abb(R,R) betrachtet man die Unterräume:
U:=menge(f:R->R|f(x)=-f(-x) für alle x\el\ R)
G:=menge(f:R->R|f(x)=f(-x) für alle x\el\ R)
Zeige, dass U\oplus\ G=R^R
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Das ist ein faszinierendes Problem mit einer doch überraschend einfachen Lösung. Es läuft darauf hinaus, dass man jede reellwertige Funktion \(f:\ \IR\to\IR\) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen kann. Also
\[f(x)=g(x)+u(x)\]
mit \(g(x)\) gerade und \(u(x)\) ungerade.
Dazu betrachtet man noch zusätzlich die Gleichung
\[f(-x)=g(-x)+u(-x)=g(x)-u(x)\]
Beide Gleichungen zusammen bilden ein LGS, mit dem man die Funktionen \(g(x)\) und \(u(x)\) für den allgemeinen Fall bestimmen kann.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)
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jannik2002
Neu
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Ok vielen Dank für den Ansatz, wir werden uns das auf jeden Fall direkt anschauen. Hoffentlich kann uns das gut weiterhelfen.
Grüße, Jannik
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