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Universität/Hochschule Lösung des Ziegenfaktors mit contour Integral
hyperG
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Unter Wiki Goat_problem gibt es nun eine nach Radius r umgestellte Gleichung mit https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_integration Da nicht mal Mathematica dieses komplizierte Integral in hypergeometrische Funktionen wandeln kann, kann man sich berechtigt fragen, ob man das als "geschlossene Form" bezeichnen darf... Unter https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2153570 gibt es zwar Versuche mit Näherungen, aber das gefällt mir alles nicht. 1. Wie gibt man denn den Bereich "abs(z-3Pi/8)=Pi/4" als Integrationsgrenze ein? 2. Möglichkeiten zur Wandlung des Integrals in (hypergeometrische) Funktionen... Grüße Gerd


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hyperG
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-18

Zunächst wollte ich mir die Bereichsgrenzen kompliziert umrechnen. Dann stieß ich aber auf die wichtige Beachtung der Polstellen! Und genau die beinhalten ja indirekt die Lösung des Ziegenfaktors !!! Statt also unendlich kompliziert 2 komplexe Integrale mit komplexen Randbedingungen zu berechnen und dabei die Polstelle zu beachten, kann man einfach die Polstelle berechnen -> fertig: \sourceon mathematica 2*Cos[(z/.FindRoot[-Pi/2-z Cos[z]+Sin[z]==0,{z,1.9,1.91},WorkingPrecision->25])/2] Out[35]= 1.158728473018121467394679 \sourceoff Das ist etwa genau so umständlich "verschlüsselt", als wenn man eine "neue Berechnung von Pi" ankündigt: \sourceon Mathematica Log[(1 + I)/(1 - I)] (2/I) =Pi \sourceoff dabei enthält ja das Argument bereits verschlüsselt das gesuchte Pi: \sourceon Mathematica ((1+i)/(1-i)) = E^(i*Pi/2) \sourceoff 😎


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hyperG
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-21

So, hier nun der Syntax für die numerische Contour-Integration: \sourceon mathematica f[z_] := z/(Sin[z] - z Cos[z] - Pi/2); Komplex[x_] := Exp[I*(x)]*Pi/4 + 3*Pi/8; NIntegrate[f[Komplex[t]]*Komplex'[t], {t, 0, 2*Pi}] Out: 6.652791953624044...i analog Nenner Out: 3.491004283266795...i Bruch=6.652791953624044/3.491004283266795; 2 Cos[Bruch/2] Out: 1.1587284730181215 (* Ziegenfaktor {Goat factor} *) \sourceoff Interessant: sobald man die Funktion Komplex[] ändert, kommen Fehler. So hatte ich mal die Offsetverschiebung des Kreisbereiches so probiert: \sourceon mathematica Komplex[x_] := Exp[I*(x-3*Pi/8)]*Pi/4; ...NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 \ recursive bisections... \sourceoff


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-21

\quoteon(2021-11-21 12:30 - hyperG in Beitrag No. 2) Interessant: sobald man die Funktion Komplex[] ändert, kommen Fehler. So hatte ich mal die Offsetverschiebung des Kreisbereiches so probiert: \sourceon mathematica Komplex[x_] := Exp[I*(x-3*Pi/8)]*Pi/4; \sourceoff \quoteoff Da $x\mapsto\exp\left[i\left(x-\frac{3\pi}8\right)\right]\cdot\frac\pi4$ $2\pi$-periodisch ist und über ein volle Periode $x\in[0,2\pi]$ integriert wird, ergibt das $-\frac{3\pi}8$ dort überhaupt keinen Sinn. Du integrierst also einfach über einen Kreis um $0$ mit dem Radius $\frac\pi4$. Im Gegensatz zu dem ursprünglichen Kreis, der den Pol $z\approx1\mathord,906$ enthält, enthält dein neuer Kreis keinen Pol von $f$ mehr, so dass das Integral verschwindet. --zippy


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