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Analysis » Maßtheorie » Komplexer Logarithmus ist messbar
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Universität/Hochschule J Komplexer Logarithmus ist messbar
Schnubelub
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Mitteilungen: 111
  Themenstart: 2021-11-20

Hallo, Ich möchte gerne beweisen, dass die komplexe Logarithmusfunktion messbar ist. Also log: \IC\\{0}->\IC, log(z)=log(r*e^(i\phi))=ln(r)+i\phi für \phi\el\ [0,2\pi ). Dafür habe ich bereits gezeigt, dass log auf \IC\\([0,\inf)) stetig und insbesondere messbar ist. Also gilt \forall\ A\el\ \sigma(T_2):log^(-1) (A)\el\ \sigma(T_2)_(\IC \\[0,\inf)). wobei \sigma(T_2) die 2-dimensionalen Borelmengen sind. Mein Problem ist, dass ich mir unter \sigma(T_2)_(\IC \\[0,\inf)) nicht wirklich etwas vorstellen kann. Ist das eine Spursigmaalgebra? Also 2-dim. Borelmengen geschnitten mit \IC\\([0,\inf))? Zeigen möchte ich ja \forall\ A\el\ \sigma(T_2):log^(-1) (A)\el\ \sigma(T_2)_(\IC \\{0}). Wäre sehr dankbar wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte! Viele Grüße!

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Schnubelub
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-20

Hab noch ein bisschen gegrübelt und hätte jetzt so argumentiert: Nun gilt ja log(z)=cases(ln(z),z\el\ \IR^+ ;log(z),z\el\ \IC\\\IR^+) wobei \IR^(+) messbar. ln ist auf \IR^(+) stetig und somit messbar und log(z) ist auf \IC\\\IR^(+) stetig und somit messbar. Also ist log(z) auf \IC\\{0} messbar. Hervorzuheben ist hierbei, dass \IR^(+) eine messbare Menge ist. Ich denke so könnte man gut argumentieren.

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