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Universität/Hochschule Beweis transitiver Abschluss
Patho
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  Themenstart: 2021-11-21

Moin, ich verzweifel gerade an einer Aufgabe. Zeigen Sie: Wenn R eine symmetrische Relation ist, dann ist der transitive Abschluss T von R auch symmetrisch. Leider gibt meine Folie genau 2 Seiten dazu her und die dazugehörige Literatur auch nicht mehr.. Ich verstehe leider gar nichts, bzw. habe keine Ahnung wie ich das aufschreiben soll. Kann mir eventuell jemand eine Quelle empfehlen wo ich die für mich notendigen Informationen herkriege? Sei R symmetrisch Z.Z t(R) ist symmetrisch Definition symmetrisch:\((a,b)\in R \rightarrow (b,a) \in R \) Definition transitiver Abschluss: \(t(R) = R \cup \{(a,c)| \text{es exist. } b_{1},b_{2},...,b_{n}\text{ mit }(a,b_{1}),(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)\in R\}\)


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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-21

Hallo, um zu zeigen, dass deine Relation $t(R)$ symmetrisch ist, musst du zeigen, dass wenn $x\, t(R)\, y$ gilt, dann auch $y\, t(R)\, x$ gilt. Nach Definition heißt es nun was, dass $x$ und $y$ in dieser transitiven Hülle liegen? Ist dir klar, was das bedeutet, und was du eigentlich zeigen möchtest, dann ist der Beweis eigentlich auch erzwungen. Es ist also nicht notwendig, dass du dir dazu weitere Literatur besorgst. Mehr als die Definitionen eines transitiven Abschlusses und die Voraussetzung einer symmetrischen Relation, benötigst du hier keine Sätze, oder verzwackte Theorie. Im Grunde geht es also darum, dass du dir klar machst, wie hier die Voraussetzung, dass $R$ symmetrisch ist, zum Einsatz kommt.


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Patho
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22

Reine Verständnisfrage: Wenn R symmetrisch ist habe ich ja auf jeden Fall (a,b) und (b,a). Muss ich denn für die transitive Hülle sowohl (b,c), (a,c) hinzufügen als auch (c,b), (c,a)? respektive ist R doch schon transitiv, denn wenn (a,b) da ist, (b,c) aber nicht ist der Teil vor der implikation falsch und die implikation ansich somit wahr.


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-22

\quoteon respektive ist R doch schon transitiv \quoteoff Nein, entweder verwechselst du hier allgemeine Relationen mit Äquivalenzrelationen, oder du führst hier einen "Fake-Beweis", den ich nicht erkenne. $R$ ist erstmal nur als eine symmetrische Relation vorausgesetzt, muss also weder reflexiv, noch transitiv sein (das wären Eigenschaften die eine Äquivalenzrelation hat). \quoteon Wenn R symmetrisch ist habe ich ja auf jeden Fall (a,b) und (b,a). \quoteoff Das ist zwar unsauber formuliert, aber im Kern richtig. \quoteon Muss ich denn für die transitive Hülle sowohl (b,c), (a,c) hinzufügen als auch (c,b), (c,a)? \quoteoff Die transitive Hülle einer Relation nimmt alle Paare hinzu, sodass aus unserer Relation $R$ eine transitive Relation entsteht. Um es dir klar zu machen, könntest du eventuell mal die transitive Hülle der folgenden Relationen bestimmen: Sei $X=\{1,2,3\}$ und $R\subseteq X\times X$ die Folgende Relation: a) $R=\{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ b) $R=\{(1,1), (1,2), (2,3)\}$ c) $R=\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$ (Diese Relationen sind mehr oder weniger spontan ausgedacht, müssen also nicht unbedingt beim Verständnis helfen...) Wenn du die Aufgabe ernst nimmst, solltest du dir kurz überlegen, welchen dieser Relationen reflexiv, symmetrisch, oder transitiv ist, und das dann mit der transitiven Hülle der Relation abgleichen. Denn die Aussage die hier zu beweisen ist, ist ja gerade, dass der transitive Abschluss einer symmetrischen Relation ebenfalls symmetrisch ist. Und wenn du das am Beispiel mal durch exerzierst, fällt es dir eventuell leichter, diesen Beweis zu führen.


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Patho
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22

Das hat mir auf jeden Fall gezeigt das da wohl noch mehr Unsicherheiten sind. a) $R=\{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ Ist reflexiv. Für den transitiven Abschluss fehlt: {(1,2),(2,3),(1,3)} b) $R=\{(1,1), (1,2), (2,3)\}$ Ist weder reflexiv, symmetrisch noch transitiv. Für den transitiven Abschluss fehlt: {(1,3)} c) $R=\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$ Ist symmetrisch. Für den transitiven Abschluss fehlt: {(1,3),(3,1)} Hier war ich mir aber unsicher, ob evtl (1,3) schon ausreicht oder ob die transitivität in dieser Relation in beide Richtungen gelten muss weil (3,2) und (2,1) enthalten sind. Habe mich dann dafür entschieden, weil das dann auch die Symmetrie gewährleistet.


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-22

\quoteon Hier war ich mir aber unsicher, ob evtl (1,3) schon ausreicht oder ob die transitivität in dieser Relation in beide Richtungen gelten muss weil (3,2) und (2,1) enthalten sind. \quoteoff Transitivität sagt, dass wenn $x\sim y$ und $y\sim z$, dann auch $x\sim z$. Wie du sagst, sind $(3,2)$ und $(2,1)$ Elemente der Relation. Es gilt also $3\sim 2$ und $2\sim 1$, womit für Transitivität dann auch $3\sim 1$ gelten muss. Ist aber doch auch ganz nett, dass du die Aussage von dem Satz benutzt hast, um dich zu korrigieren, bzw. deine Gedanken zu prüfen. So kriegt man dann doch gleich ein besseres Verständnis der Dinge, und schafft es auch untereinander zu verknüpfen. Ansonsten sollte es passen was du schreibst. Wie sieht es nun mit einem formalen Beweis aus? Kannst du diesen Ansetzen und beenden? Ein Beweis müsste jedenfalls zu anfangen: Wir wollen zeigen, dass $t(R)$ eine symmetrische Relation ist. Sei also $(x,y)\in t(R)$. Um den Beweis zu erbringen, müssen wir zeigen, dass $(y,x)\in t(R)$ gilt (Was ist dafür genau zu zeigen?). Starte also mit dem Element $(x,y)$. Was sagt dir nun die definierende Eigenschaft von $t(R)$? (Dieser Schritt ist erzwungen, in dem Sinne, dass es erstmal das einzige ist, was man mit $(x,y)$ anfangen kann.) Siehst du in wie weit es erzwungen ist, die Symmetrie der Relation $R$ auszunutzen, und kannst du nun $(y,x)\in t(R)$ zeigen?


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Patho
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

Sei $R$ symmetrisch Z.Z $t(R)$ symmetrisch gdw $\forall x,y \in t(R): (x,y)\in t(R) \rightarrow (y,x) \in t(R)$ [Def symmetrisch] So sah mein Anfang bis eben aus. \quoteon(2021-11-22 17:27 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 5) Ein Beweis müsste jedenfalls zu anfangen: Wir wollen zeigen, dass $t(R)$ eine symmetrische Relation ist. Sei also $(x,y)\in t(R)$. Um den Beweis zu erbringen, müssen wir zeigen, dass $(y,x)\in t(R)$ gilt (Was ist dafür genau zu zeigen?). Starte also mit dem Element $(x,y)$. Was sagt dir nun die definierende Eigenschaft von $t(R)$? (Dieser Schritt ist erzwungen, in dem Sinne, dass es erstmal das einzige ist, was man mit $(x,y)$ anfangen kann.) Siehst du in wie weit es erzwungen ist, die Symmetrie der Relation $R$ auszunutzen, und kannst du nun $(y,x)\in t(R)$ zeigen? \quoteoff Ich sehe leider immer noch nicht durch was die Notation anbelangt. Schreibe ich denn für den erzwungenen Teil hin das wir (x,y) und (y,x) haben weil R chon symmetrisch war? Durch die transitive Hülle muss es ja in $t(R)$ auch (y,z),(x,z),(z,y) und (z,x) geben schreibe ich denn da als nächstes zb: gdw $\forall x,y,z \in t(R): (x,y)\in t(R) \land (y,z) \in t(R) \rightarrow (x,z) \in t(R)$ [transitiver Abschluss] Dann $(z,y) \in t(R) \land (y,x) \in t(R) \rightarrow (z,x) \in t(R) $


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-23

\quoteon Ich sehe leider immer noch nicht durch was die Notation anbelangt. \quoteoff Vielleicht guckst du dir am besten einmal die verlinkte Definition auf Wikipedia an. Gehen wir nochmal zurück zum obigen Beispiel (c). c) $R=\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$ Wir haben $(1,3)\in t(R)$, denn es gilt $(1,2)$ und $(2,3)\in R$. Also $1\,R\,2\,R\,3$ (Das ist ein bisschen abuse of notation) Die Relation $R$ ist hier im Beispiel auch symmetrisch. Das heißt ich kann obige "Kette" umdrehen, und es gilt aufgrund der Symmetrie also $3\, R\, 2\, R\, 1$. Diesen Prozess musst du nur noch formal sauber aufschreiben.


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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-23

Guten Morgen, du fängst wie folgt an: Sei \((x,y)\in t(R)\). (Zu zeigen: \((y,x)\in t(R)\)) Fall 1: \((x,y)\in R\) Dann ist \((y,x)\in R\), da R symmetrisch. Also ist \((y,x)\in t(R)\) Fall 2: \((x,y)\in \{(a,c)| \text{es exist. } b_{1},b_{2},...,b_{n}\text{ mit }(a,b_{1}),(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)\in R\}\) ... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Patho
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-23

\quoteon(2021-11-23 08:54 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 7) \quoteon Ich sehe leider immer noch nicht durch was die Notation anbelangt. \quoteoff Vielleicht guckst du dir am besten einmal die verlinkte Definition auf Wikipedia an. Gehen wir nochmal zurück zum obigen Beispiel (c). c) $R=\{(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$ Wir haben $(1,3)\in t(R)$, denn es gilt $(1,2)$ und $(2,3)\in R$. Also $1\,R\,2\,R\,3$ (Das ist ein bisschen abuse of notation) Die Relation $R$ ist hier im Beispiel auch symmetrisch. Das heißt ich kann obige "Kette" umdrehen, und es gilt aufgrund der Symmetrie also $3\, R\, 2\, R\, 1$. Diesen Prozess musst du nur noch formal sauber aufschreiben. \quoteoff Ich denke ich habe mich ungenau ausgedrückt. Mit nicht durchsehen was die Notation anbelangt, ist gemeint das mir nicht klar ist wie ich etwas formal richtig aufschreiben soll. Das fällt mir richtig schwer. Der Ablauf müsste nach meinem Verständnis in etwa so sein: xRy Also auch yRx (R ist symmetrisch) durch die transitive Hülle kommt yRz, xRz, zRy, zRx hinzu. somit ist dann t(R) sowohl tranisitv als auch symmetrisch, womit auch gezeigt ist das t(R) symmetrisch ist. Ich blicke aber nicht durch ob das denn die nötigen Schritte sind und auch noch viel weniger wie ich das Formal richtig aufschreibe. \quoteon(2021-11-23 08:59 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8) Guten Morgen, du fängst wie folgt an: Sei \((x,y)\in t(R)\). Fall 1: \((x,y)\in R\) Dann ist \((y,x)\in R\), da R symmetrisch. Also ist \((y,x)\in t(R)\) Fall 2: \((x,y)\in \{(a,c)| \text{es exist. } b_{1},b_{2},...,b_{n}\text{ mit }(a,b_{1}),(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)\in R\}\) ... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.] \quoteoff Ich weiss, ich habe die Definition so hingeschrieben. Leider ist mir diese auch nicht zu 100% klar. Mir ist bewusst das ich transitivität von a nach c herstelle über beliebig viele b. Mich verwirrt bloss das b in der definition nie wirklich verknüpft ist. da steht $b_{1},b_{2}$ und dann plötzlich $(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)$ nach meinem Verständnis/was für mich logisch ist müsste da eher $(b_{1},b_{1+1}),(b_{n},c)$ stehen..aber das wäre dann wohl etwa das selbe?


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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-11-23

\quoteon(2021-11-23 09:37 - Patho in Beitrag No. 9) \quoteon(2021-11-23 08:59 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8) Fall 2: \((x,y)\in \{(a,c)| \text{es exist. } b_{1},b_{2},...,b_{n}\text{ mit }(a,b_{1}),(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)\in R\}\) \quoteoff Ich weiss, ich habe die Definition so hingeschrieben. Leider ist mir diese auch nicht zu 100% klar. Mir ist bewusst das ich transitivität von a nach c herstelle über beliebig viele b. Mich verwirrt bloss das b in der definition nie wirklich verknüpft ist. da steht $b_{1},b_{2}$ und dann plötzlich $(b_{i},b_{i+1}),(b_{n},c)$ nach meinem Verständnis/was für mich logisch ist müsste da eher $(b_{1},b_{1+1}),(b_{n},c)$ stehen..aber das wäre dann wohl etwa das selbe? \quoteoff Gemeint ist: \(\text{es exist. } b_{1},b_{2},...,b_{n}\text{ mit }(a,b_{1}),(b_{1},b_{2}),(b_{2},b_{3}),...,(b_{n-1},b_{n}),(b_{n},c)\in R\}\)


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Ah okay danke dir! Dann war mein Verständnis okay. Ich versuche das nochmals Aufzuschreiben..aber irgendwie ist es niedergeschrieben nicht schlüssig für mich, während es im Kopf noch logisch ist.🙄


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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-11-24

\quoteon(2021-11-24 14:08 - Patho in Beitrag No. 11) Ich versuche das nochmals Aufzuschreiben..aber irgendwie ist es niedergeschrieben nicht schlüssig für mich, während es im Kopf noch logisch ist.🙄 \quoteoff Kannst es ja mal zeigen, wenn du fertig bist. Wenn du es sehr detailliert aufschreibst, sollte das trotzdem in drei Zeilen gehen. 🙃


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Patho
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25

Okay. Formal korrekt ist es bestimmt nicht. Aber über ein Feedback ob es inhaltlich korrekt ist und falls ja - wie das Formal richtig aussehen müsste wäre ich echt dankbar. Z.Z: $(x,y),(y,z) \rightarrow (x,z) \in t(R)$ und $(z,y),(y,x) \rightarrow (z,x)\in t(R)$ Sei \((x,y)\in t(R)\). Dann ist $(y,x) \in t(R)$ [R ist symmetrisch] Daraus folgt, dass $(y,z),(z,y) \in t(R)$ Dann $(x,z)$ und $(z,x) \in t(R)$ [transitiver Abschluss]


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Triceratops
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-11-25

Man kann hier auch mit der "abstrakten" Definition des transitiven Abschluss argumentieren: Für eine Relation $R \subseteq X \times X$ ist $t(R)$ die kleinste transitive Relation mit $R \subseteq t(R)$. Das heißt: wenn $S$ eine transitive Relation mit $R \subseteq S$ ist, dann gilt bereits $t(R) \subseteq S$. Und die "abstrakte" Definition einer symmetrischen Relation ist: Es ist $R$ symmetrisch, wenn $R \subseteq R^{\mathrm{op}}$ (und dann sogar $R = R^{\mathrm{op}}$), wobei $R^{\mathrm{op}} = \{(x,y) \in X \times X : (y,x) \in R\}$. Wenn nun $R$ symmetrisch ist und wir zeigen wollen, dass $t(R)$ symmetrisch ist, müssen wir also $t(R) \subseteq t(R)^{\mathrm{op}}$ zeigen, was nach der Definition von $t(R)$ damit äquivalent ist, dass $t(R)^{\mathrm{op}}$ transitiv ist und $R \subseteq t(R)^{\mathrm{op}}$ gilt. Das zweite ist hier klar, denn $R = R^{\mathrm{op}} \subseteq t(R)^{\mathrm{op}}$. Es läuft also alles auf das folgende Lemma hinaus: Wenn $R$ transitiv ist, dann ist auch $R^{\mathrm{op}}$ transitiv. Der Beweis dafür schreibt sich automatisch hin (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805). (Wir müssen hier insbesondere nicht mehr mit Folgen argumentieren, der transitive Abschluss ist hier "wegabstrahiert" worden.) Hier der Beweis als Lückentext: Wenn $(x,y) \in R^{\mathrm{op}}$ und $(y,z) \in R^{\mathrm{op}}$, bedeutet das per Definition von $R^{\mathrm{op}}$ ... Nun folgt mit der Transitivität von $R$, dass ... was mit der Definition von $R^{\mathrm{op}}$ also $(x,z) \in R^{\mathrm{op}}$ bedeutet, was zu zeigen war. PS: Die im Startbeitrag angegebene Fallunterscheidung in der Definition von $t(R)$ ist unnötig, und daher entfallen hier auch die Fallunterscheidungen im Beweis (wie in Beitrag 8). Die Elementcharakterisierung von $t(R)$ lautet: Es gilt $(x,y) \in t(R)$, wenn es ein $n \in \IN^+$ gibt und $x_1,\dotsc,x_n \in X$ mit $ (x_i,x_{i+1}) \in R$ für $1 \leq i < n$ und $x = x_1$ und $y = x_n$. Für $n=1$ sieht man hiermit, dass $R \subseteq t(R)$.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-25

@Triceratops: Das ist ja alles ganz nett. Ob dein Beweis einfacher ist als der, den man hier führen soll, weiß ich aber nicht. Außerdem müsste man ja erst mal beweisen, dass beide Definitionen des transitiven Abschluss äquivalent sind. Deine Definition im PS ist natürlich ebenfalls eleganter als die Definition in der Aufgabenstellung. Aber die Aufgabe ist nun mal so gestellt. @Patho: \quoteon(2021-11-25 08:45 - Patho in Beitrag No. 13) Z.Z: $(x,y),(y,z) \rightarrow (x,z) \in t(R)$ und $(z,y),(y,x) \rightarrow (z,x)\in t(R)$ Sei \((x,y)\in t(R)\). Dann ist $(y,x) \in t(R)$ [R ist symmetrisch] Daraus folgt, dass $(y,z),(z,y) \in t(R)$ Dann $(x,z)$ und $(z,x) \in t(R)$ [transitiver Abschluss] \quoteoff Das war leider gar nichts. Das ist nicht zu zeigen, und der "Beweis" passt auch nicht dazu. Schau dir noch mal #8 an und führe den Beweis dort fort. Ich habe in #8 noch ergänzt, was eigentlich zu zeigen ist.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Moin, wir haben die Aufgabe mittlerweile besprochen. Das hier ist die Lösung die wir dann ausgearbeitet haben, die dem entsprich was sich der Prof vorgestellt hat: $R´:= \{(a,c) | \exists b_1,b_2,...b_n : (a,b_1),(b_i,b_{i+1}),(b_n,c) \in R\}$ $t(R) = R \cup R´$ Sei $(a,c) \in R$ ZZ. $(c,a) \in R´$ Sei $(a,c)$ f.a.b dann $(a,c) \in R \vee (a,c) \in R´$ Fall 1: $(a,c) \in R$ Dann ist $(c,a)$ auch $\in R$ [R ist symmetrisch] Dann ist $(a,c) \in R \subseteq t(R)$ Fall 2: $(a,c) \in R´$ Dann $\exists b_1,b_2,...b_n : (a,b_1),(b_i,b_{i+1}),(b_n,c) \in R\}$ Dann $\exists b_1,b_2,...b_n:(c,b_n),(b_{i+1},b_i),(b_1,a) \in R\}$ [R ist symmetrisch] Dann ist $(c,a) \in R´ \subseteq t(R)$ [Def R´] also ist auch $t(R)$ symmetrisch. Ich danke Euch allen auf jeden Fall für die Unterstützung!


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