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Universität/Hochschule Epsilon-Delta für Lebesgue-Integral
rebeccaa1994
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  Themenstart: 2021-11-22

Hallo, ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe: Wir betrachten eine Funktion \(f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}\). Zeige, dass für alle \(\epsilon>0\) ein \(\delta>0\) existiert, mit \(|\int_{A}^{} f \,d\mu|<\epsilon\) für alle \(A\in \mathcal A\) mit \(\mu(A)<\delta\) Also ich denke ich muss nun ein \(\delta\) finden, dass von \(\epsilon\) abhängt, komme aber einfach nicht voran. Das habe ich bis jetzt: \(|\int_{A}^{} f \,d\mu|=|\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\mu(A_i)|<|\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\delta|\) Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. LG Rebecca


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-22

Es fehlt noch irgendeine Voraussetzung. Zu der jetzigen Aussage wäre $\Omega=\mathbb R$, $\mu=$ Lebesgue-Maß, $f=\operatorname{id}_{\mathbb R}$ ein Gegenbeispiel. --zippy


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rebeccaa1994
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22

Hi Zippy, alles was in der Aufgabenstellung gegeben ist, ist ein Maßraum \((\Omega,\mathcal A,\mu)\) und das \(f\) integrierbar sein muss. Die Identität dürfte meiner Meinung nach dar nicht integrierbar sein auf ganz \mathbb{R} und daher fällt diese Weg.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-22

\quoteon(2021-11-22 17:24 - rebeccaa1994 in Beitrag No. 2) und das \(f\) integrierbar sein muss. \quoteoff Das hattest du bisher nicht erwähnt.


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rebeccaa1994
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22

Ja das stimmt, das hatte ich vergessen. Ich komme bei meiner Aufgabe jetzt jedoch einfach nicht weiter. Ich hatte jetzt noch die folgende Idee: \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\delta=\delta(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i)=\epsilon\) Und damit folgt dann: \(\delta=\frac{\epsilon}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}\) Kann das so in die Richtung funktionieren?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-22

\quoteon(2021-11-22 16:37 - rebeccaa1994 im Themenstart) Das habe ich bis jetzt: \(|\int_{A}^{} f \,d\mu|=|\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\mu(A_i)|<|\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\delta|\) \quoteoff Es sieht so aus, als ob du $f$ durch eine einfache Funktion annähern möchtest. Dann ist das "$=$" aber nicht richtig. Versuche mal folgende ähnliche Argumentation: Zu $\varepsilon>0$ gibt es eine einfache Funktion $a=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\,1_{A_i}$ mit$$0\le a\le|f|\,,\quad \int_\Omega(|f|-a)\,\mathrm d\mu < \frac\varepsilon2 \;. $$Mit$$ \delta := {\varepsilon\over2\sum_{i=1}^n\alpha_i} $$ist dann für $\mu(A)<\delta$$$ \left|\int_A f\,\mathrm d\mu\,\right| \le \int_A|f|\,\mathrm d\mu = \int_A(|f|-a)\,\mathrm d\mu + \int_Aa\,\mathrm d\mu \\[3.8ex] \le \frac\varepsilon2 + \sum_{i=1}^n\alpha_i\,\mu(A\cap A_i) \le \frac\varepsilon2 + \delta\sum_{i=1}^n\alpha_i \le \ldots \;. $$


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