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 Transformationsformel für das Bildmaß |
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geraldinho
Neu 
Dabei seit: 22.11.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-11-22
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Hallo,
wir haben als Übungsaufgabe bekommen, die folgende Gleichheit
\(\int_{g^{-1}(A)}^{} f\circ g \,d\mu = \int_{A}^{} f\,d(\mu\circ g^{-1})\)
für die beiden messbaren Funktionen \(f:\tilde{\Omega}\rightarrow\bar{\mathbb{R}}\) und \(g:\Omega\rightarrow\tilde{\Omega}\) gilt.
Ich hatte überlegt es mit maßtheoretischer Induktion zu zeigen. Für Elementarfunktionen müsste es dann relativ einfach sein, da direkt mit der Definition des Lebesgue-Integral folgt:
\(\int_{g^{-1}(A)}^{} f\circ g \,d\mu=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i\mu(g^{-1}(A_i))=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i\mu\circ g^{-1}(A_i)=\int_{A}^{} f\,d(\mu\circ g^{-1})\)
Weiter komme ich nicht :/ und um ehrlich zu sein, bin ich mir auch bei dem schritt nicht so sicher
Vielen Dank schon im voraus für jede Hilfe
LG Gerald
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Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
michfei
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.03.2022
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-05
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Hallo Gerald,
deine Aussage ist ein Spezialfall folgender Gleichung:
\[\int_{\Omega} f \circ g \,d \mu = \int_{\tilde{\Omega}} f \,d (\mu \circ g^{-1}) \]
Es ist eine gute Idee, es über maßtheoretische Induktion zu zeigen und für Elementarfunktionen zeigt man es auch analog zu deiner Rechnung:
\[\int_{\Omega} f \circ g \,d \mu = \sum_{i} \alpha_{i} \int_{\Omega} \chi_{A_i} \circ g \, d \mu = \sum_{i} \alpha_{i} \int_{\Omega} \chi_{g^{-1}(A_i)} \, d \mu = \sum_i \alpha_i \mu (g^{-1}(A_i)) = \sum_i \alpha_i (\mu \circ g^{-1})(A_i) = \sum_{i} \alpha_{i} \int_{\tilde{\Omega}} \chi_{A_i} \, d (\mu \circ g^{-1}) = \int_{\tilde{\Omega}} f \,d (\mu \circ g^{-1})\]
Der nächste Schritte wäre zu zeigen, dass es auch für \(f \geq 0\) gilt.
Hier verwenden wir, dass für jede messbare Funktion \(f\) eine Folge nichtnegativer monoton wachsender Elementarfunktionen \((f_n)_{n \in \IN}\) gibt mit \(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n = f \).
Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz erhalten wir also:
\[\int_{\Omega} f \circ g \,d \mu = \int_{\Omega} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} (f_n \circ g) \,d \mu = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{\Omega} f_n \circ g \,d \mu = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{\tilde{\Omega}} f_n \,d (\mu \circ g^{-1}) \\ = \int_{\tilde{\Omega}} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_n \,d (\mu \circ g^{-1}) = \int_{\tilde{\Omega}} f \,d (\mu \circ g^{-1}) \]
Zum Schluss zeigen wir die Aussage für quasiintegrable Funktionen \(f\).
Um das zu machen, zerlegen wir \(f = f_+ - f_-, \quad f_+,f_- \geq 0 \) in einen Postiv- und Negativteil und wir erhalten:
\[\int_{\Omega} f \circ g \,d \mu = \int_{\Omega} f_+ \circ g \,d \mu - \int_{\Omega} f_- \circ g \,d \mu = \int_{\tilde{\Omega}} f_+ \,d (\mu \circ g^{-1}) -\int_{\tilde{\Omega}} f_- \,d (\mu \circ g^{-1}) = \int_{\tilde{\Omega}} f \,d (\mu \circ g^{-1})\]
LG
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