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Mathematik » Analysis » DGL Iterationsfolge
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Universität/Hochschule DGL Iterationsfolge
Banana
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  Themenstart: 2021-11-23

Guten Abend an alle, ich habe etwas Verständnisschwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Sei \((X,d)\) ein vollständiger metrischer Raum und \(T:X\rightarrow X\) eine Kontraktion. Dann besitzt \(T\) genau einen Fixpunkt \(x\in X\). Für beliebiges \(x^{(0)}\in X\) konvergiert außerdem gegen \(x\) die Folge \((x^{(n)}) _{n\in\IN}\) definiert durch \(x^{(n+1)}:=T(x^{(n)})\) Wählen Sie \(x^{(0)}=0\) und berechnen Sie die ersten zwei Näherungen \(x^{(1)}, x^{(2)}\) der Lösung für das Anfangswertproblem \(\dot x=2+cos(x), x(0)=1\). Schreibe Sie dafür die DGL als eine Integralgleichung Erstmal irritiert mich die Notation \(x^{(n)}\), da ich das eigentlich als die "n-te Ableitung" kenne, was jedoch im Sinne der Iterationsfolge erstmal keinen Sinn ergibt. Daher dachte ich mir, dass es sich hier um eine andere Notation eines Folgengliedes handelt. Nun habe ich die Integralgleichung \(T(x)(t)=x_0+\int \limits_{t_0}^{t} f(s,x(s))ds\). Meine erste Intuition: Ich nutze die Anfangsbedingung \(x(0)=1=x_0, t_0=0\) und beginne damit die Folge und erhalte: \(x_1=1+\int \limits_{0}^{t} 2+cos(0)ds\). Dann erschließt sich mir aber nicht, wieso ich \(x^{(0)}=0\) setzen soll. Hat jemand eine Idee, was sich genau dahinter verbirgt? Ist das überhaupt der richtige Ansatz? Würde mich über Hinweise freuen :)


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Hallo Banana, ja, der Index ist hochgestellt, weil sonst doppelte Bedeutung. \(x_0\) bezeichnet den Funktionswert einer beliebigen Funktion \(x(t)\) an der Stelle \(t=t_0\). \(x(0)=1\) ist die Bedingung, die die gesuchte Lösung \(x(t)\) erfüllen soll. \(x^{(0)}\) ist das erste Folgenglied (eine Funktion) des Lösungsverfahrens. Die Folgenglieder müssen die Anfangsbedingung nicht erfüllen, nur deren Grenzfunktion. Viele Grüße, Stefan


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