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Integration » Lebesgue-Integral » Produktmaß und Riemann-Integrierbarkeit
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Universität/Hochschule J Produktmaß und Riemann-Integrierbarkeit
tani_vani
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  Themenstart: 2021-11-24

Hallo, ich versuche mich seit einiger Zeit an einer Aufgabe und bin mir sehr unsicher was meinen Weg angeht. Wir haben eine messbare und Riemann-integrierbare Funktion \(f:[a,b]\rightarrow [0,\infty[\), sowie \(M:=\{(x,y)\in[a,b]\times \mathbb{R}|0\leq y\leq f(x)\}\) Zz. \(\lambda^2(M)=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\) Ich hatte überlegt nun zunächste folgende Menge zu bestimmen: \(M_x=\{y\in [a,b]|(x,y)\in M\}=\{[0,f(x)]\}\) Dann würde folgen: \(\lambda^2(M)=\int\limits_{[a,b]} f(x)-0 d x =\int\limits_{[a,b]} f(x) d x\) Mit dem Satz von Fubini folgt dann: \(\int\limits_{[a,b]} f(x) d x=\int\limits_{a}^{b} f(x) d x\) Danke schon mal im voraus für euer Feedback und Tipps Gruß Tanja


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo Tanja, Ich denke du hast einen kleinen Denkfehler gemacht. Du wolltest sicherlich mit $M_x$ andeuten, dass du ein festes $x\in [a,b]$ betrachtest und dann alle $y\in [0,\infty)$ betrachtest, so dass $(x,y)\in M$ gilt? Also für $x\in [a,b]$ betrachte $$ M_x=\lbrace y\in [0,\infty)\mid (x,y)\in M\rbrace = [0,f(x)]. $$ Dann hat man (eigentlich nach Definition des Produktmaßes, aber man könnte es auch Cavalieri's Prinzip nennen) $$ \lambda^2(M)=(\lambda \otimes \lambda)(M)=\int_{[a,b]} \lambda^1(M_x) \d \lambda^1(x)=\int_{[a,b]} f(x) \d \lambda^1(x). $$ Nun, wenn $f\colon [a,b]\to [0,\infty)$ Riemann-integrierbar (ich spreche von eigentlicher Riemann-Integrierbarkeit, insbesondere ist $f$ also beschränkt) ist, dann stimmt das obige Lebesgue-Integral mit dem Riemann-Integral überein und wir erhalten die Behauptung. LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Lebesgue-Integral' von nzimme10]\(\endgroup\)


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tani_vani
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24

Super danke, habs jetzt verstanden


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tani_vani hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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