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| Autor |
 Dimension der selbstadjungierten Abbildungen |
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benniNator
Neu 
Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2021-11-24
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Hallo,
es geht um folgende Aufgabe, bei der ich momentan enorme Schwierigkeiten habe, auch nur einen Ansatz zu finden.
Wir haben einen euklidischen VR \(V_1\) und einen unitären VR \(V_2\), mit \(\dim(V_1)=\dim(V_2)=n\). Weiter definieren wir:
\(A_1:=\{f\in\mathcal{L}(V_1,V_1)|\) \(f\) ist selbstadjungiert\(\}\)
\(A_2:=\{f\in\mathcal{L}(V_2,V_2)|\) \(f\) ist selbstadjungiert\(\}\)
Zz: \(\dim(A_1)=\frac{n(n+1)}{2}\) und \(\dim(A_2)=n^2\)
Ich wäre über jeden Tipp dankbar, denn gerade hab ich irgendwie nen Brett vor dem Kopf.
LG Benni
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-24
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Beachte, dass der Raum der selbstadjungierten Operatoren im euklidischen und auch im unitären Fall ein reeller Vektorraum ist und dass es darum um Dimensionen über $\mathbb R$ geht.
Um diese Dimensionen zu bestimmen, kannst du in beiden Fällen eine ONB einführen, die Matrixdarstellungen von $f$ betrachten und einfach die reellen Parameter abzählen, die du in diesen Matrixdarstellungen frei wählen kannst.
--zippy
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benniNator
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Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24
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Hey zippy,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich hab jetzt ne Weile drüber nachgedacht und komme dennoch nicht voran.
Ich beginne mal mit \(A_1\). Also eine ONB für \(V_1\) wäre doch die Basis
\(B=\{\begin{pmatrix}1\\0\\.\\.\\.\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\.\\.\\.\\0\end{pmatrix},\cdot\cdot\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\.\\.\\.\\1\end{pmatrix}\}\)
Jetzt verstehe ich schon nicht, wie ich weiter vorgehen muss :/
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-24
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$V_1$ und $V_2$ sind irgendwelche euklidische bzw. unitäre Räume, eine Basis besteht daher nicht notwendigerweise aus Spaltenvektoren.
Du musst aber auch gar keine Basis konkret hinschreiben, sondern dich daran erinnern, wie die Darstellungsmatrix eines selbstadjungierten Operators in einer ONB aussieht.
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benniNator
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Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Also im euklidschen ist die Darstellungsmatrix symmetrisch und im unitären ist sie hermetisch.
Aus einer Bemerkung im Skript, weiß ich nun, dass die Dimmension der symmetrischen bzw. hermetischen Matritzen genau der zu zeigenden Aussage. Die dürfen wir aber bestimmt nicht benutzen.
Ich habs mir wie folgt überlegt.
Wir haben in der \(i\)-ten Zeile genau \(i\) Elemente, die wir frei wählen können, da sich o.B.d.A alle Elemente unterhalb der Diagonalen direkt aus dem Eintrag überhalb der Diagonalen ergeben. Damit erhalten wir \(\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
Ist das verständlich und logisch? bzw reicht das als Begründung aus?
Für die hermetischen Matritzen hängt es bestimmt damit zusammen, dass wir Imaginär- und Realteil haben und deshalb die Dimension größer ist. Genau erklären kann ich es mir allerdings nicht. Hast du da noch einen Tipp für mich?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4638
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-25
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\quoteon(2021-11-25 21:39 - benniNator in Beitrag No. 4)
Wir haben in der \(i\)-ten Zeile genau \(i\) Elemente, die wir frei wählen können, da sich o.B.d.A alle Elemente unterhalb der Diagonalen direkt aus dem Eintrag überhalb der Diagonalen ergeben. Damit erhalten wir \(\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
\quoteoff
Ja, das ist richtig.
Du könntest auch so argumentieren: Wählbar sind die $n$ Elemente auf der Diagonalen und die $(n^2-n)/2$ Elemente oberhalb der Diagonalen. In Summe ist das $n+(n^2-n)/2=(n^2+n)/2=n(n+1)/2$.
\quoteon(2021-11-25 21:39 - benniNator in Beitrag No. 4)
Für die hermetischen Matritzen hängt es bestimmt damit zusammen, dass wir Imaginär- und Realteil haben
\quoteoff
Ja: Auf der Diagonalen kannst du den Realteil frei wählen, der Imaginärteil muss verschwinden. Oberhalb der Diagonalen kannst du beide frei wählen. Die Elemente unterhalb der Diagonalen sind wie im Fall einer symmetrischen Matrix durch die Elemente oberhalb bereits festgelegt.
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benniNator
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Dabei seit: 24.11.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Ah ok, es folgt \(n+\frac{n^2-n}{2}+\frac{n^2-n}{2}=n+n^2-n=n^2\)
Vielen Dank für deine Hilfe
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| benniNator hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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