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 Borel-Messbarkeit |
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jz97x
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2020
Mitteilungen: 39
 |  Themenstart: 2021-11-30
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Hallo liebes Forum
Ich soll zeigen, dass f:[0,1]->\IR monoton steigend borel-messbar ist.
Zu meiner Vorgehensweise:
Sei a\el\ [0,1]
1. Ist {f<=a}=\0, so ist nach Def. \0\el\ B(R)
(wobei B(R) die Borelmenge darstellen soll)
2. Ist {f<=a}!=\0, so sei M:=sup{\omega:f(\omega)<=a}
a) Ist M=\inf, so folgt {f<=a}=[0,1]\el\ B(R)
b) Ist M<\inf , so gilt
M\el\ {f<=a} => {f<=a}=(-\inf ,M]\el\ B(R)
M\notel\ {f<=a} => {f<=a}=(-\inf ,M)\el\ B(R)
Und somit ist f borel-messbar
Ist mein Beweis richtig?
LG
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30
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Hallo jz97xm
du hast gar nicht angegeben, um welche Funktion f es überhaupt geht. Oder soll das etwas für jede Funktion gelten?
Das ist i. A. nicht richtig:
\(\{f\leq a\}=(-\infty,M]\) bzw. \(\{f\leq a\}=(-\infty,M)\). Insbesondere muss \(\{f\leq a\}\) ja eine Teilmenge aus [0,1] sein.
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jz97x
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.05.2020
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Ohh ich dussel. Die Funktion f soll monoton steigend sein.
Tut mir sehr leid, habs vergessen zu erwähne.
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jz97x
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2020
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Gedanke:
Ich könnte ja auch zeigen, dass die monoton steigende Funktion f stetig ist und dann argumentieren, dass jede stetige Funktion borel-messbar ist oder?
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-30
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\quoteon(2021-11-30 15:31 - jz97x in Beitrag No. 3)
Gedanke:
Ich könnte ja auch zeigen, dass die monoton steigende Funktion f stetig ist und dann argumentieren, dass jede stetige Funktion borel-messbar ist oder?
\quoteoff
Führe deinen Gedanken doch mal weiter. Ist jede monoton steigende Funktion stetig?
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jz97x
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.05.2020
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Eben nicht, war kein sinnvoller Gedanke
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jz97x
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.05.2020
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Hab jetzt eine Lösung:
Da f monoton steigt gilt:
f^(-1)(\IR)=\0, f^(-1)(\IR)=(-\inf, z) oder f^(-1)(\IR)=(-\inf, z] für z\el\ \IR
Nach Def. einer Borelmenge gilt \0\el\B(\IR) und offene und halboffene Rechtecke sind Erzeuger von B(\IR), d.h. es gilt (-\inf, z), (-\inf, z]\el\ B(\IR)
Stimmt das soweit?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-01
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Nein, das ist leider völlig falsch und auch nicht zielführend. Schreib die Definition des Urbildes komplett aus und beurteile dann nochmal deine angegebenen Urbilder.
Dein Ansatz aus dem Ursprungspost war eigentlich schon ganz gut - du musst nur ein paar Kleinigkeiten fixen. Hier hast du StrgAltEntfs Hinweis noch nicht beachtet. Das solltest du aber tun.
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| jz97x hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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