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Mathematik » Analysis » Direkte Formel der "chordalen Metrik" in R² - Rechnung wird zu unübersichtlich
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Universität/Hochschule J Direkte Formel der "chordalen Metrik" in R² - Rechnung wird zu unübersichtlich
Miri83
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  Themenstart: 2021-11-30

Hallo, ich habe hier ein Rechenproblem (oder eher ein Termumformungsproblem): Ich habe die Ausgangs- und die Zielformel, komme aber nicht ans Ziel...🙄 Ausgangspunkt ist die stereographische Projektion des \(\mathbb{R}²\) auf die Kugel \[ Y = \left\{(a_1,a_2,a_3)\in \mathbb{R}^3\Bigg| a_1^2+a_2^2+\left(a_3 - \frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\right\} \] Sei \(s:Y\setminus\{(0,0,1)\} \to \mathbb{R}^2\cup\{x_{\infty}\}\) die steographische Projektion der Kugel auf die Ebene \(a_3 = 0\), dann gilt \[ s(x) = \begin{cases} \left( \frac{a_1}{1-a_3}, \frac{a_2}{1-a_3}\right)& ,x\in Y\setminus\{(0,0,1)\}\\ \\ \qquad x_{\infty}& ,x=(0,0,1) \end{cases} \] und \[ s^{-1}(x') = \begin{cases} \qquad \qquad \quad (0,0,1)& ,x'=x_{\infty}\\ \\ \left( \frac{a_1'}{1+a_1'^{2}+a_2'^{2}}, \frac{a_2'}{1+a_1'^{2}+a_2'^{2}}, \frac{a_1'^{2}+a_2'^{2}}{1+a_1'^{2}+a_2'^{2}}\right)& ,x'=(a_1',a_2')\in\mathbb{R}^{2}\} \end{cases} \] Jetzt kann man \(\mathbb{R}^2\cup\{x_{\infty}\}\) zu einem metrischen Raum machen, indem man die Metrik \(d'(x',y'):= d(s^{-1}(x'),s^{-1}(y')) \quad \forall\, x',y' \in \mathbb{R}^2\cup\{x_{\infty}\}\) festlegt. Eine direkte Formel für diese Metrik ist \[d'(x',y')=\frac{d(x',y')}{\sqrt{(1+d(0,x')^{2})(1+d(0,y')^{2})}}\], wobei \(d\) die euklische Metrik im \(\mathbb{R}²\) ist. Hier fängt der Horror-Trip für mich an. Ich kann diese Formel auf Teufel komm raus nicht herleiten. Die Formel für den einfacheren Fall \(d'(x',x_{\infty})=\frac{1}{\sqrt{1 + d(0,x')^{2}}}\) ergibt sich noch ohne Probleme, aber die Rechnung für den anderen Fall wird sehr schnell unübersichtlich und ich sehe da wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht. Ich habe \(x':=(a,b), y':=(c,d)\) gesetzt und dann so angefangen: \[ \begin{align} d'(x',y') &= d(s^{-1}(x'),s^{-1}(y'))\\ &= d\left(\left(\frac{a}{1+a^{2}+b^{2}},\frac{b}{1+a^{2}+b^{2}},\frac{a^{2}+b^{2}}{1+a^{2}+b^{2}}\right),\left(\frac{c}{1+c^{2}+d^{2}},\frac{d}{1+c^{2}+d^{2}},\frac{c^{2}+d^{2}}{1+c^{2}+d^{2}}\right)\right)\\ &=\sqrt{\left(\frac{a}{1+a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{1+c^{2}+d^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{1+a^{2}+b^{2}}-\frac{d}{1+c^{2}+d^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{1+a^{2}+b^{2}}-\frac{c^{2}+d^{2}}{1+c^{2}+d^{2}}\right)^{2}} \end{align} \] Was dann folgt, sind zwei Din A4-Seiten unübersichtlichste und vor allem ergebnislose Rechnerei. Kann vielleicht, wenn jemand mal Langeweile hat, versuchen, ob er oder sie das rausbekommt?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du könntest deine Rechnungen eventuell etwas vereinfachen, wenn du mit $\mathbb C\cong \mathbb R^2$ arbeitest. LG Nico\(\endgroup\)


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Miri83
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Hallo, Nico, ja, der Gedanke kam mir auch, jedoch brachte mich das auch nicht weiter. Es muss ja auch so gehen und generell interessieren mich solche sehr technischen Rechnungen auch. Da kann man eigentlich immer etwas von lernen.🙂


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, bemerke in diesem Fall, dass $$ f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^3, \ f(x)=\left(\frac{x}{1+\lVert x\rVert^2},\frac{\lVert x\rVert^2}{1+\lVert x\rVert^2}\right) $$ die Projektion von der Ebene auf die Kugel beschreibt. Für $x,y\in \mathbb R^2$ gilt folglich \[ \begin{align*} \lVert f(x)-f(y)\rVert^2 &=\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} + \frac{1}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{1}{(1+\|y\|^2)^2}- \frac{2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} \\ &=\frac{1}{1+\|x\|^2}+\frac{1}{1+\|y\|^2} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} - \frac{2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} \\ &=\frac{2+\|x\|^2+\|y\|^2- 2\langle x,y\rangle -2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} = {\|x-y\|^2 \over ( 1+\|x\|^2)\,(1+\|y\|^2)}. \end{align*} \] LG Nico\(\endgroup\)


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Miri83
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Hallo, Nico. Danke, das sieht gut aus und zeigt mal wieder, wie sehr man sich das Leben schwer machen kann...🙃 Aber ich sehe noch nicht, wie Du auf \[ \begin{align*} \lVert f(x)-f(y)\rVert^2 &=\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} + \frac{1}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{1}{(1+\|y\|^2)^2}- \frac{2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} \end{align*} \] kommst. Müsste es nicht \[ \begin{align*} \lVert f(x)-f(y)\rVert^2 &=\left\lVert\left(\frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)}, \frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)}-\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2}\right)\right\rVert^2\\ &=\left\langle \frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)},\frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)}\right\rangle + \left(\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)}-\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2}\right)^2\\ &=\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} + \frac{\|x\|^4}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^4}{(1+\|y\|^2)^2}- \frac{2\|x\|^2\|y\|^2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} \end{align*} \] lauten?


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Miri83
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

So, ich hab's jetzt: \[ \begin{align*} \lVert f(x)-f(y)\rVert^2 &=\left\lVert\left(\frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)}, \frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)}-\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2}\right)\right\rVert^2\\ &=\left\langle \frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)},\frac{x}{(1+\|x\|^2)}-\frac{y}{(1+\|y\|^2)}\right\rangle + \left(\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)}-\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2}\right)^2\\ &=\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)^2} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} + \frac{\|x\|^4}{(1+\|x\|^2)^2}+\frac{\|y\|^4}{(1+\|y\|^2)^2}- \frac{2\|x\|^2\|y\|^2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)}\\ &=\frac{\|x\|^2}{(1+\|x\|^2)}+\frac{\|y\|^2}{(1+\|y\|^2)} - \frac{2\langle x,y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} - \frac{2\|x\|^2\|y\|^2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)}\\ &=\frac{\|x\|^2+\|y\|^2-2\langle x,y\rangle +2\|x\|^2\|y\|^2 -2\|x\|^2\|y\|^2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)}\\ &=\frac{\langle x-y,x-y\rangle}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)}\\ &=\frac{\|x-y\|^2}{(1+\|x\|^2)(1+\|y\|^2)} \end{align*} \] Danke Dir, nochmal. LG, Miriam


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