Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängigkeit sample Varianz, Statistik von sample Varianz
Autor
Universität/Hochschule Unabhängigkeit sample Varianz, Statistik von sample Varianz
mathemufflon2
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 20.04.2021
Mitteilungen: 22
  Themenstart: 2021-12-01

Hi Mathefreunde, vielleicht kann mir hier jemand einen Denkanstoß geben: Gegeben sei ein Sample von iid normalverteilten Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$, alle $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Ich habe eine Funktion $V=h(U,T) = \frac{U}{\sqrt{T-nU^2}} = \frac{\bar{X}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}}$, wobei $T$ und $U$ die natürlichen Statistiken sind, das heißt $U=\bar{X}$ und $T=\sum_{i=1}^n X_i^2$. Die entsprechenden natürlichen Parameter sind $(\theta, \phi)=(\frac{n\mu}{\sigma^2}, \frac{-1}{2\sigma^2})$. Ich weiß, dass für beliebige $(\mu, \sigma^2)$ die Statistiken $\bar{X}=U$ und $\sqrt{T-nU^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}$ unabhängig sind (sample mean und sample variance). Hat jemand eine Idee, wie ich zeigen kann, dass für $\mu = 0$ (d.h. $\theta=0$) $V=h(U,T)$ unabhängig von $T = \sum_{i=1}^n X_i^2$ ist? Vielen lieben Dank!


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 284
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-02

Moin mathemufflon2, benutze, dass $U$ und $S := \sqrt{T - nU^2}$ unabhängig sind und dass weiter $U \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2/n^2)$ sowie $S^2/\sigma^2 \sim \chi_{n-1}^2$ gilt. Verwende die Transformationsformel für Dichten (wie etwa in Theorem 0.1 hier), um die Dichte $f_S$ von $S$ zu bestimmen. Damit ist dann $f_{(U,S)}(u,s) = f_U(u) f_S(s)$. Überlege dir, dass \[\begin{pmatrix} v \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{s} \\ nu^2 + s^2 \end{pmatrix} =: \phi(u,s)\] gilt und bestimme wieder mithilfe der Transformationsformel für Dichten die gemeinsame Dichte $f_{(V,T)}$ von $V$ und $T$. Daraus kannst du dann ablesen, dass $V$ und $T$ unabhängig sind (und dass $V \sim t_{n-1}$ sowie $T/\sigma^2 \sim \chi_n^2$ gilt). LG, semasch


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]