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Analysis » Stetigkeit » Gleichmäßige Stetigkeit Verständnis
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Universität/Hochschule J Gleichmäßige Stetigkeit Verständnis
Nautilus
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  Themenstart: 2021-12-05

Hallo, ich bin gerade dabei, mein etwas in die Jahre gekommenes Mathematik-Verständnis ein wenig aufzupolieren und habe deswegen das alte Analysis-I-Skriptum zur Hand genommen. Ich habe mir nun die Definition zur gleichmäßigen Stetigkeit durchgelesen, und muss gestehen, dass ich diese nicht ganz zu verstehen scheine. Für jedes \(\varepsilon > 0\) soll ein \(\delta\) gefunden werden, es soll also letzten Endes für jedes noch so kleine \(\varepsilon\) gelten. Nun ist \(\delta = \delta(\varepsilon)\), nachdem ich dieses \(\delta\) (bzw. die Funktion) aber letztendlich frei wählen kann, läuft das in meinen Augen momentan einfach nur darauf hinaus, ob die Funktion am Rand divergiert? Für eine stetige Funktion würden mir sonst keine Fälle einfallen, in welchen die Steigung \(\pm \infty\) werden wurde (und dadurch die Findung eines \(\delta\) unmöglich). Nun liegt hier klarerweise ein Verständnisfehler vor, den ich aber einfach nicht finde. Darum bitte ich um Hilfe :) Beste Grüße


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Sei $D\subseteq \mathbb R$ und $f\colon D\to \mathbb R$ eine Funktion. Der Unterschied zur Definition der "normalen" Stetigkeit ist subtil aber vorhanden! Am besten sieht man das, wenn man die formalen Definitionen vergleicht: \[ \begin{align*} f \text{ stetig } &:\Longleftrightarrow \ \color{blue}{\forall y\in D} \, \forall \varepsilon>0 \, \exists\delta>0 \, \forall x\in D: |x-y|<\delta \longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \\ f \text{ glm. stetig } &:\Longleftrightarrow \ \forall \varepsilon>0 \, \exists\delta>0 \, \color{blue}{\forall y\in D}\, \forall x\in D: |x-y|<\delta \longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \end{align*} \] Formal wurde also "nur" die Position einer der Quantoren getauscht. Das macht aber eben den großen Unterschied aus. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit müssen wir für ein vorgegebenes $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ finden das für jede Wahl von $x,y\in D$ funktioniert. Bei der "normalen" Stetigkeit reicht es, wenn wir an jeder Stelle ein $\delta>0$ finden, das für diese eine Stelle funktioniert, aber nicht auch an anderen Stellen funktionieren muss. Allerdings geht es bei der gleichmäßigen Stetigkeit nicht unbedingt direkt um die Steigung des Graphen von $f$. Der Begriff der Lipschitz-Stetigkeit trifft eine Aussage über die Steigung. Zum Beispiel ist die Funktion $f\colon [0,1]\to \mathbb R, \ f(x)=\sqrt x$ gleichmäßig stetig, obwohl die Steigung des Graphen von $f$ für $x\to 0$ beliebig groß werden kann. Mit Hilfe des Graphen einer Funktion lässt sich die gleichmäßige Stetigkeit sehr anschaulich interpretieren. Ist $f\colon D\to \mathbb R$ gleichmäßig stetig und $\varepsilon>0$, so finden wir ein $\delta>0$, so dass $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ für alle $x,y\in D$ mit $|x-y|<\delta$ gilt. Für festes $x\in D$ bedeutet das gerade, dass der Graph der Einschränkung von $f$ auf das Intervall $(x-\delta,x+\delta)$ vollständig in dem Rechteck $$ (x-\delta,x+\delta)\times (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon) $$ liegt, also $$ G_{f|_{(x-\delta,x+\delta)}}\subseteq (x-\delta,x+\delta)\times (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)=B_\delta(x)\times B_\varepsilon(f(x)) $$ gilt. Gleichmäßig stetig zu sein bedeutet also, dass man ein geeignetes achsenparalleles Rechteck in $\mathbb R^2$ finden kann, dessen Mittelpunkt auf dem Graphen von $f$ liegt, so dass egal wie man es entlang dem Graphen von $f$ verschiebt, der Graph das Rechteck nur links oder rechts, aber nie oben oder unten verlässt.
$ \begin{tikzpicture} \draw[thick, ->] (0,0) -- (8,0) node[right]{$\mathbb R$}; \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,4) node[above]{$\mathbb R$}; \draw[thick, blue, domain=0:7.5, samples=100] plot (\x, {0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1.5}) node[right]{$f$}; \foreach \x in {1,2,3,4,5,6,7} { \draw[thick, fill=black] (\x,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1.5}) circle (2pt); \draw[thick, red] (\x-0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+2}) -- (\x+0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+2}); \draw[thick, red] (\x-0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1}) -- (\x+0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1}); \draw[thick, green!50!black] (\x-0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1}) -- (\x-0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+2}); \draw[thick, green!50!black] (\x+0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+1}) -- (\x+0.25,{0.3*\x*sin(0.3*deg(\x))+2}); } \end{tikzpicture} $
Abgesehen von der allgemeinen Definition ist deine Beobachtung aber nicht falsch. Wenn z.B. $a,b\in \mathbb R$ mit $a\(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05

Hallo! Jetzt, wo ich meinen ursprünglichen Beitrag noch einmal lese, fällt mir auf, dass ich die Stetigkeit der Funktion, welche am Rand divergiert, nicht explizit erwähnt habe (sondern erst im nächsten Satz, welcher sich auch auf diese beziehen sollte). Vielen Dank für diese sehr klar formulierte und übersichtliche Antwort! Mein Ziel war nicht unbedingt, eine hinreichende Bedingung für glm. Stetigkeit über die Steigung zu finden. Mir ging es eher darum, festzustellen, ob meine Bedingung über die ausbleibende Divergenz am Rand als schnelles, notwendiges Ausschlusskriterium dienen kann. Es freut mich, dass meine Beobachtung dann anscheinend doch richtig war :) Beste Grüße


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Beobachtung ist aber auch nicht immer richtig, so wollte ich es nicht sagen. Die Identität $\opn{id}_{\mathbb R}\colon \mathbb R\to \mathbb R$ ist z.B. auch gleichmäßig stetig, obwohl sie für $x\to \pm\infty$ natürlich divergiert. Es gibt also schon ein paar Fälle, bei denen deine Vorstellung nicht zutrifft. Weiter zeigt das Beispiel der Identität, dass Divergenz am Rand nicht das selbe wie eine beliebig große Steigung ist. Wie bereits angesprochen sind gleichmäßig stetige Funktionen auf beschränkten Mengen aber stets beschränkt, weshalb deine Vorstellung hier zutrifft, sofern man von Grenzwerten an den Rändern sprechen kann. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Hallo! Vielen Dank für das Beispiel mit der Identität; die Existenz von Funktionen mit einem solch "gleichmäßig divergierenden" Verhalten hatte ich irgendwie komplett ausgeblendet. Edit: Meine nächste Annahme wäre jetzt, meine "Pfuschregel" anstatt über Divergenz tatsächlich über "relle Steigung" zu definieren, um eben auch lineare Funktionen mit einzubeziehen. Und mit dieser Änderung wäre ich jetzt allerdings bei der Lipschitzstetigkeit angekommen, oder? Gibt es eine intuitive Veranschaulichung, welche den Unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und Lipschitzstetig zeigt? Wenn ich mir die Funktion \(f: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}, \; f(x)=\sqrt{x}\) anschaue sehe ich irgendwie schon ein, warum sie gleichmäßig stetig, aber nicht lipschitzstetig ist, aber ich kann die Idee dahinter nicht klar formulieren. Beste Grüße


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-06

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, in diesem Paper wird gezeigt, dass gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit (zumindest auf konvexen Mengen) sehr nahe beieinander sind. Tatsächlich schreibt der Autor, dass seine Motivation für dieses Paper im Prinzip genau deine Fragestellung war. Um auf deine konkrete Frage mit der Wurzel intuitiv einzugehen: Der Graph der Wurzelfunktion besitzt lokal eine beliebig große Steigung, zeigt aber global dennoch höchstens lineares Wachstum auf (ja sogar viel langsamer als linear). Das ist also für die gleichmäßige Stetigkeit kein Problem, da die "Problemstellen" nur von lokaler Natur sind und bei einer Wahl von $\delta>0$ berücksichtigt werden können. Für die Lipschitz-Stetigkeit ist das aber ein Problem, denn diese verlangt, dass die Steigungen aller Sekanten des Graphen nach oben und unten beschränkt sind, die Funktion also global höchstens lineares Wachstum aufweist. Ein weiteres typisches Beispiel in dieser Hinsicht ist die Funktion $f\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto \sqrt[3]{x}$. Da $x\mapsto x^3$ streng monoton wachsend ist, ist $f$ zunächst stetig. Für die gleichmäßige Stetigkeit ist zumindest anschaulich nur die Stelle $x=0$ eine Überlegung wert. Da die Einschränkung von $f$ auf ein kompaktes Intervall um $0$ (z.B. $[-1,1]$) sogar gleichmäßig stetig ist, finden wir für diese "problematische Region" ein passendes $\delta>0$. Für $(1,\infty)$ finden wir mit der Definition der gleichmäßgen Stetigkeit auch ein passendes $\delta>0$. Insgesamt ist damit die gleichmäßige Stetigkeit von $f$ auf $[0,\infty)$ gezeigt. Da der Graph von $f$ punktsymmetrisch zu $0$ ist, ist auch $(-\infty,0]$ kein Problem. Allerdings macht uns diese einzige Stelle $x=0$ direkt die Lipschitz-Stetigkeit kaputt. Dieses Beispiel illustriert noch einmal, was ich oben bereits gesagt habe. Für die gleichmäßige Stetigkeit ist es nicht schlimm, wenn die Funktion solche "problematischen Stellen" hat. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Hallo! Vielen Dank für das Paper und deine Erklärung - verstehe ich das jetzt so richtig, dass eine solche lokal beliebige Steigung dann gegeben ist, wenn die betreffende Stelle innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion liegt? Dadurch kann für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta\) gefunden werden, aber ich kann dennoch keine Lipschitzkonstante bestimmen, da die Steigung eben beliebig hoch wird - richtig? Beste Grüße


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