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Universität/Hochschule Definition Martingal
julian2000P
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  Themenstart: 2021-12-07

Hallo zusammen, ich hätte eine Frage zur Definition eines (diskreten) Martingales. Die Definition geht ja so: $X = (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ist ein Martingal bezüglich der Filtration $(\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}}$, falls 1) $X_n$ ist $\mathcal{F}_n$-messbar für alle $n \in \mathbb{N}$, 2) $E[|X_n|] < \infty$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und 3) $E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}] = X_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Ich habe auch eine andere Definition gefunden, wo Punkt 1) nicht gefordert wird. Folgt dieser Punkt bereits aus 3) weil $X_n$ gleich einer $\mathcal{F_n}$-messbaren Zufallsvariable, nämlich $E[X_{n+1}|\mathcal{F_n}]$ entspricht? Oder muss man das anders erklären. Wäre froh wenn mir jemand helfen könnte. Grüße


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) Wo hast du das gelesen? Ich denke nicht, dass deine Begründung funktioniert, denn $\mathbb{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n$ soll nur $\mathbb{P}$-fast sicher gelten (besser geht es nicht: bedingte Erwartungswerte sind nur eindeutig bis auf $\mathbb{P} = 0$ Änderungen). Wenn sie aber nur fast sicher gleich sind, dann folgt nicht, dass $X_n$ die gleichen Messbarkeitseigenschaften besitzt. Ich glaube insbesondere nicht, dass 1) weggelassen werden kann (ein Gegenbeispiel habe ich allerdings nicht parat), vielleicht hat der Autor es vergessen oder du hast ein Adjektiv "adaptiert" in der Definition überlesen?\(\endgroup\)


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Hallo Kezer, vielen Dank für deine Antwort. Ja hatte mir schon gedacht, dass es an dem scheitern könnte. Habe diese Definition aus einem Paper und wortwörtlich steht dort: A stochastic Process $S = (S_t)_{t \in \mathbb{N}_0}$ is a $P$-martingale if $E_P[|S_t|] < \infty$ and $E_P[S_{t+1}|\mathbb{F}_t] = S_t$ for all $t \in \mathbb{N}_0$. Es würde mich zwar sehr wundern, aber wäre es denkbar, dass hier einfach mit einer anderen eben nicht äquivalenten Definition gearbeitet wird?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-08

Ich kenn dein Paper nicht, aber ja, es könnte schon sein, dass eine nicht-äquivalente Definition verwendet wird, auch wenn ich das als seltsam empfinde. Was denken die W-Theorie Experten auf dem MP dazu?


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Das wäre das Paper, Seite 2 Definition 2.1.: https://arxiv.org/pdf/1701.04025.pdf


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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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